¿Puede alguien ayudarme con una demostración del valor de la expectativa de la dispersión de un observable A utilizando sólo la Notación de Dirac?

Question

Desgraciadamente aprendí Mecánica Cuántica con Griffiths y me cuesta mucho la notación de Dirac. Estoy aprendiendo Sakurai y he intentado hacer una demostración muy trivial usando sólo la notación de Dirac, pero no lo consigo. Para aquellos con el texto Estoy tratando de probar la ecuación 1.4.51. Voy a poner mi trabajo en el problema a continuación y comentar después.

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Conocemos el valor de expectativa de un observable $A$ es

$ \left< A \right> = \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> $

Defina

$ \Delta A \equiv A - \left< A \right> $

Teorema:

$\left< \left( \Delta A \right)^{2} \right> = \left< A^{2} \right> - \left< A \right>^{2} $

Prueba:

\begin{align} \left< \left( \Delta A \right)^{2} \right> &= \left< \left( A - \left< A \right> \right)^{2} \right>\\ &=\left< A^{2} - 2 A \left< A \right> + \left< A \right>^{2} \right>\\ &=\left< \alpha \right| \left( A^{2} - 2 A \left< A \right> + \left< A \right>^{2} \right) \left| \alpha \right>\\ &=\left( \left< \alpha \right| A^{2} + \left< \alpha \right| \left( - 2 A \left< A \right> \right) + \left< \alpha \right| \left< A \right>^{2} \right) \left| \alpha \right> \, , \qquad \text{Bras are distributive}\\ &=\left< \alpha \right| A^{2} \left| \alpha \right> + \left< \alpha \right| \left( - 2 A \left< A \right> \right) \left| \alpha \right> + \left< \alpha \right| \left< A \right>^{2} \left| \alpha \right> \, , \qquad \text{Kets are distributive} \\ &=\left< \alpha \right| A^{2} \left| \alpha \right> - 2 \left< \alpha \right| \left( A \left< A \right> \right) \left| \alpha \right> + \left< \alpha \right| \left< A \right>^{2} \left| \alpha \right> \, , \qquad \text{-2 is constant and factors out}\\ \end{align}

Entonces $\left< \alpha \right| A^{2} \left| \alpha \right> = \left< A^{2} \right>$

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Esta es la parte en la que estoy atascado. Quiero ser capaz de decir "Un valor de expectativa es sólo un número y factores a cabo", pero no es totalmente obvio para mí que para algunos observable que $$ \left< \alpha \right| \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left| \alpha \right> = \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left< \alpha | \alpha \right> = \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> = \left< A \right> $$ Por varias razones.

1. Tenemos que suponer que nuestro espacio está normalizado para decir $\left< \alpha | \alpha \right> = 1$ .
2. ¿Y si consideramos $\left< \beta \right| \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left| \beta \right>$ . ¿Sigue siendo cierto?
3. Sin "factorizar todo el término" por arte de magia, no se me ocurre cómo "conmutar" adecuadamente los sujetadores y kets y operadores para llegar de $\left< \alpha \right| \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left| \alpha \right> $ a $ \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left< \alpha | \alpha \right>$

Por no mencionar que $$ \left< \alpha \right| \left< A \right>^{2} \left| \alpha \right> = \left< \alpha \right| \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left| \alpha \right> = \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> = \left< A \right> \left< A \right> = \left< A \right>^{2} $$

O peor aún porque tenemos kets adyacentes en el caso de $$ \left< \alpha \right| \left( A \left< A \right> \right) \left| \alpha \right> = \left< \alpha \right| A \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left| \alpha \right> = \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> = \left< A \right> \left< A \right> = \left< A \right>^{2} $$

Si tuviera que redactar esto como un lista de preguntas:

1. ¿Cómo puedo "conmutar" adecuadamente los sujetadores y los kets para rellenar los pasos intermedios que he enumerado anteriormente, cuando los sujetadores y los kets generalmente no conmutan? (¿utilizando potencialmente transposiciones quizás?)
2. ¿En qué condiciones es válido realizar esas operaciones?
3. ¿Mi espacio tiene que estar normalizado para que $\left< \alpha | \alpha \right> = 1$ ?
4. ¿Se requiere que mis operadores sean hermitianos (o autoadjuntos) para que $A = A^\dagger$ ?
5. ¿Es correcta mi notación cuando utilizo $\alpha$ para todo, o debería estar escribiendo $\left< A \right> \left< A \right> = \left< \alpha \right| A \left| \alpha \right> \left< \beta \right| A \left| \beta \right>$ donde $\beta$ es simplemente una "variable ficticia" diferente de $\alpha$ ? (Pienso en los índices ficticios cuando se utiliza la notación sumatoria de Einstein).

Si se le ocurre algo que quizás debería haber preguntado, no dude en comentarlo también. Puedo hacer esta prueba utilizando las definiciones integrales, pero la notación de Dirac, por desgracia, no parece hacer clic para mí.