Demostrar que si $m\mid z$ implica que $n \mid z$ entonces $n\mid m$

Question

Intento demostrar el siguiente hecho de divisibilidad:

Para cualquier $z \in \mathbb{Z}$ Supongamos $m \mid z$ implica que $n \mid z$ . Entonces $n \mid m$ .

La intuición no me resulta difícil de entender. Si, por ejemplo, unos $z$ siempre tiene un factor de $m$ implica que siempre tiene un factor de $n$ eso sugeriría que podemos tomar un factor de $n$ de $m$ . Sin embargo, estoy teniendo algunas dificultades para demostrar este hecho con rigor.

Agradecería mucho una pista sobre cómo proceder. ¿Es la contradicción el enfoque adecuado?

Answer 1

Establecer $z=m$ . Claramente $m \mid m$ . Tenemos: $$n \mid z \implies n \mid m$$ ¡Hecho!

BTW podemos sustituir $z=m$ ya que la condición es: $$m \mid z \implies n \mid z$$ para cualquier $z$ .

Answer 2

Es más claro en términos de establece de múltiplos, donde divide = contiene por $\,(\color{#c00}{3\!\iff\! 2})\,$ abajo. La utilidad de este punto de vista se hace evidente cuando se estudian ideales (principales) o grupos (cíclicos).

Lema $ $ TFAE para $\,m,n\in\Bbb Z$

$(1)\ \ \, n\:\!|\:\!z\,\Leftarrow\, m\:\!|\:\!z,\ $ para todos $\,z\in\Bbb Z$

$\!\left.\begin{align}&\color{#c00}{(2)}\ \ \ \ n\Bbb Z\,\supseteq\, m\Bbb Z\\[.5em] &\color{#c00}{(3)}\ \ \ \ \ \ \ n\,\mid\, m\end{align}\,\right\}\ $ [divide = contiene]

Prueba $\ \ (1\Rightarrow 2)\,\ \ z\in m\Bbb Z\,\Rightarrow\,m\mid z\Rightarrow\,n\mid z\,\Rightarrow\, z\in n\Bbb Z$
$(2\Rightarrow 3)^{\phantom{|^|}}\ \ m\in m\Bbb Z\subseteq n\Bbb Z\,\Rightarrow\, m\in m\Bbb Z\,\Rightarrow\,m = nz\,\Rightarrow\,n\mid m.\,$
$(3\Rightarrow 1)^{\phantom{|^|}}\ \ n\mid m\mid z\,\Rightarrow\, n\mid z\ $ por transitividad de "divide".