Ideales primos en el anillo de gérmenes de funciones continuas

Question

Todos sabemos que el anillo de gérmenes de funciones continuas en un punto de, digamos $\mathbb{R}$ tiene un único ideal máximo, es decir, las funciones que desaparecen en ese punto.

¿Se le ocurre a alguien algún otro ejemplo de ideal primo?

Sabemos que tiene que haber montones y montones de ellos, ya que no hay elementos nilpotentes distintos de cero en el anillo. No se puede intentar construir algo así mirando el germen de funciones que desaparecen en algún conjunto mayor de puntos, porque entonces se pueden utilizar funciones de choque para producir dos gérmenes cuyo producto esté en el ideal pero ninguno de los cuales pertenezca al ideal.

Las únicas otras posibilidades que se nos ocurren sólo tendrían alguna esperanza de funcionar si se tratara de funciones suaves (¡aunque todavía no se nos ha ocurrido ningún ejemplo!).

¿Es posible escribir un ejemplo de este tipo para funciones continuas, o son demasiado feas?

Answer 1

Elija una secuencia $a_n$ de puntos distintos convergentes a $0$ . "Elige" un ultrafiltro en este conjunto contable. Consideremos los gérmenes de funciones $f$ tal que el conjunto de todos los $a_n$ où $f(a_n)=0$ pertenece al filtro. (Esta condición de la función sólo depende de su germen).

EDITAR Lo que sigue se refiere a la respuesta de George Elencwajg y la complementa. En particular, el ideal $\frak m_a$ y $\frak m_a^{nb}$ se definen allí.

Retirada: Un ultrafiltro en el conjunto $X$ te da un ideal máximo en el anillo de todas las funciones de valor real, y estos son los únicos ideales primos. Si $X$ tiene una topología, entonces la intersección con $C(X)$ estos dan ideales primos que pueden o no ser maximales. Si $X$ es compacto Hausdorff entonces cada ultrafiltro converge a (es decir, contiene todas las vecindades de) un único punto.

Para el resto de esta discusión asumo $X$ es Hausdorff compacto.

(1) Todo ideal propio en $C(X)$ se encuentra en $\frak m_a$ para un punto (único) $a\in X$ . En particular, estos son los únicos ideales maximales.

Pruebas: En caso contrario $I$ tiene elementos $f_1,\dots ,f_n$ tales que los conjuntos abiertos $X-f^{-1}(0)$ portada $X$ . Pero entonces $f_1^2+\dots +f_n^2$ es una unidad en $C(X)$ .

(2) Todo ideal primo $P$ de $C(X)$ debe contener el ideal $\frak m_a^{nb}$ para algún punto $a\in X$ .

Prueba: En caso contrario existen $f_1,\dots ,f_n$ todo fuera $P$ que desaparecen respectivamente en los conjuntos abiertos $U_1,\dots ,U_n$ que cubren $X$ . El producto de la $f_i$ es cero, contradicción.

Así

(3) Todos los ideales primos de $C(X)$ corresponden a los ideales primos de los distintos anillos locales (anillos de gérmenes) $C(X)/\frak m_a^{nb}$ .

Por supuesto, cuando el primo viene determinado por un ultrafiltro, el punto en cuestión es el punto al que converge.

(4) El primo determinado por un ultrafiltro no puede ser maximal a menos que el ultrafiltro sea principal.

Pruebas: Si el ideal es $\frak m_a$ es una función continua que sólo desaparece en $a$ pertenecerá al ideal, lo que implica que el singleton $a$ pertenece al filtro.

Supongo que puede ocurrir que diferentes ultrafiltros den a veces el mismo ideal primo, pero no estoy seguro.

Supongo que puede ocurrir que haya ideales primos no determinados por ningún ultrafiltro, pero no estoy seguro. Tal ideal sería no tienen la siguiente propiedad : Si $f\in I$ y si $f^{-1}(0)\subset g^{-1}(0)$ entonces $g\in I$ .

Answer 2

Permítanme dar una prueba autocontenida de la existencia de ideales primos del tipo que ustedes requieren, para $\mathbb R$ y muchos otros espacios .
Dado un espacio topológico $X$ , dejemos que ${\mathfrak m }_x\subset C(X)$ denotan el ideal de funciones que desaparecen en $x$ et ${\mathfrak m }_x^{nb}\subset {\mathfrak m }_x$ el ideal de las funciones que desaparecen en una vecindad (¡variable!) de $x$ .

Lema: En un espacio completamente regular $X$ , la intersección de ${\mathfrak m }_a \cap {\mathfrak m }_b \; (a\neq b)$ no contiene ningún ideal primo
En efecto, consideremos barrios disjuntos $U_a,U_b$ de $a,b$ una función $f_a\in C(X)$ con $f_a(a)=1$ y apoyo en $U_a$ y una función análoga $f_b$ .
Si para algún primo ${\mathfrak p}$ tuvimos ${\mathfrak p}\subset {\mathfrak m }_a \cap {\mathfrak m }_b$ entonces como $f_af_b=0\in {\mathfrak p}$ tendríamos, por ejemplo, $f_a\in {\mathfrak p}$ y a fortiori $f_a\in {\mathfrak m }_a $ . Contradicción desde $f_a(a)=1$

Resultado general: Si en un espacio completamente regular $X$ hay un punto $a\in X$ tal que ${\mathfrak m }_a^{nb}\subsetneq {\mathfrak m }_a$ entonces existe un ideal primo ${\mathfrak p}\subset C(X)$ no de la forma ${\mathfrak m }_x$ .
De hecho, el ideal ${\mathfrak m }_a^{nb}$ es radical ( ${\mathfrak m }_a^{nb} =\sqrt {\mathfrak m }_a^{nb}$ ) es la intersección de los primos que lo contienen. Por el lema, el único primo de la forma ${\mathfrak m }_x$ que contiene ${\mathfrak m }_a^{nb}$ es ${\mathfrak m}_a$ por lo que debe existir un primo que no sea de la forma ${\mathfrak m }_x$ que contiene ${\mathfrak m }_a^{nb}$ .

Observaciones
1) Por supuesto $\mathbb R $ satisface la hipótesis del teorema, pero también lo hacen todos los espacios completamente regulares habituales en puntos no aislados $a$ . La hipótesis ${\mathfrak m }_x^{nb}\subsetneq {\mathfrak m }_a$ es muy débil: ¿por qué una función cero en $a$ desaparecen en todo un vecindario de $a$ ¡?!
2) Para los aficionados al axioma de elección, el lema de Zorn se oculta en el hecho de que un ideal radical en un anillo es la intersección de los ideales primos que lo contienen.

Editar (30 de noviembre de 2011)
Acabo de encontrar un documento notable demostrando que para cualquier espacio compacto decente $X$ ( por ejemplo un cubo compacto $[a,b]^n \subset \mathbb R^n$ ), la dimensión de Krull de $C(X)$ es infinito. El autor afirma modestamente que el resultado está oculto en el conocido libro de Gillman-Jerison Anillos de funciones continuas .

Answer 3

Puedes echar un vistazo a lo siguiente:- http://www2.imperial.ac.uk/~naddingt/notas/cont_ag.pdf . Contiene un ejemplo de ideal primo para funciones suaves.