Sea $\hat{p}$ sea la proporción de aciertos en $n$ ensayos Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad $p$ de éxito.
(a) Calcule la expectativa de $\hat{p} (1-\hat{p})$ .
¿No es $P(\hat{p} = k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}$ ? Así es $\mathbb{E}[\hat{p}(1-\hat{p})] = \sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\right]\left[1-\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\right]$ ? ¿O me estoy equivocando completamente?
¿Cómo se calculan la media y la varianza aproximadas de $\hat{p}(1-\hat{p})$ utilizando el método delta.
Cualquier consejo será apreciado... Gracias.
Edición: Así que tengo $\mathbb{E} \left[\hat{p}(1-\hat{p})\right] = \frac{n-1}{n} p(1-p)$ . ¿Cómo se utiliza el método delta?...
