Logaritmo positivo en a $C^*$ -álgebra

Question

Sea $A$ ser un $C^*$ -y $a \in A_+$ sea un elemento positivo. Quiero demostrar que $a$ tiene un logaritmo positivo si $a$ es invertible.

Sólo veo que el habitual $\log$ es continua en el espectro de $a$ desde $0 \notin \sigma(a)$ pero $\log(a)$ no tiene por qué ser positivo, ya que por cálculo funcional sería cierto si $\sigma(a) \subset [1,\infty)$ que yo no veo.

Si $a=e^b$ para algún positivo $b$ entonces $\sigma(a) = \{e^t : t \in \sigma(b)\} \subset [1,\infty)$ así que $a$ debe tener necesariamente su espectro en $[1,\infty)$ Supongo.

Answer 1

Tal y como está escrito, el ejercicio es definitivamente erróneo. Tome la C $^*$ -álgebra $\mathcal A=\mathbb C$ y toma $a=1/2$ . Entonces la pregunta es el libro de Conway afirma que existe un elemento positivo $b$ en $\mathbb C$ tal que $e^b=1/2$ . Por supuesto, tales $b$ no existe.

Lo más probable es que la palabra "positivo" de la pregunta sea un error tipográfico. En esa situación, puedes utilizar el cálculo funcional continuo para obtener el logaritmo.