Demostración de que el conjunto de funciones acotadas no decrecientes es compacto

Question

Tome el set $B=\{a\in \Bbb R^{\Bbb N}|\exists C \in \Bbb R \forall n \in \Bbb N:|a(n)|<C\}$

y la distancia $d(a(n),b(n)):= \sup|a(n)-b(n)|$

Entonces, dado el subconjunto $J:=\{a\in B| \forall n \in \Bbb N: a(n+1)\geq a(n)\}$ Quiero decidir si J es compacto o no, dado que sé que es cerrado

Los teoremas que creo que puedo usar :

1. las imágenes continuas de conjuntos compactos son compactas.

2. cualquier subconjunto cerrado de un subconjunto compacto es cerrado.

Bien, a partir de aquí, este es mi argumento:

definir una función $f:[0,C] \rightarrow B$ podríamos decir simplemente que la función es f(x)=a, donde x es algún valor entre cero y C.

claramente $[0,C]$ es compacta ya que es cerrada y acotada por lo que por el teorema de heine borel esto es cierto.

esto implica por el teorema 1. que B es compacto . Por lo tanto como J es un subconjunto cerrado de B , por 2. J también es compacto.

¿Alguien podría decirme si esto es correcto o cómo puedo ajustar mi argumento?

Answer 1

El conjunto está cerrado, pero está cerrado en $\ell^\infty$ (el espacio normado de secuencias reales acotadas en la norma del suprimo), que a su vez es no compacto. Por tanto, no muestra compacidad en absoluto.

De hecho, es muy poco compacto. Defina para cada $k \in \mathbb{N}$ la función $f_k: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ por $f_k(n) = 0$ para $n \le k$ y $1$ para $n>k$ . Estos $f_k$ son todas funciones acotadas no decrecientes en su espacio y se puede comprobar fácilmente que es un subconjunto infinito discreto y cerrado del mismo. Así que su conjunto ni siquiera es contablemente compacto.

Otro argumento más sencillo: considere todas las funciones/secuencias que son constantes. Todas ellas están en $J$ y demuestran que $J$ no tiene límites. Por tanto, no puede ser compacta, ya que lo compacto implica la acotación de la métrica.