¿Es el "espacio de las magnitudes físicas" un campo de grado de trascendencia? $6$ o $7$ sobre los racionales?

Question

Disculpe mi ingenua pregunta y, por favor, permítame que se lo explique:

En la vida cotidiana experimentamos 3 "dimensiones" espaciales + tiempo, etc. Normalmente las 3 dimensiones se representan mediante un sistema de coordenadas y matemáticamente como el espacio vectorial $R^3$ . En cambio, la palabra "dimensión" en el análisis dimensional tiene un realismo más objetivo que se basa en mediciones físicas. Por ejemplo $l$ sea un número trascendental.

Entonces $1,l,l^2,l^3,\cdots$ será linealmente independientes sobre los números racionales y, por tanto, puede servir de base en un espacio vectorial. Por ejemplo, en lugar de decir que el punto en dimensión espacial tiene coordenadas $(x,y,z)$ también podríamos escribir:

$$x+y \cdot L + z \cdot L^2$$

donde $L$ representa un "número trascendental sobre los racionales" y se asocia con metro o kilómetro, etc.

Tomemos por ejemplo la unidad derivada $s/t^k$ para $k=0,1,2$ donde $s$ denota longitud y $t$ denota tiempo. Entonces $s$ =longitud, $s/t =$ velocidad, $s/t^2=$ aceleración. Si las consideramos como la base de un espacio vectorial, este espacio vectorial tiene 3 dimensiones. Pero nadie las consideraría subjetivamente como dimensiones.

Por otra parte, las siete unidades SI básicas (o 6 si no se quieren contar $mol$ ), podrían verse como números trascendentales sobre los racionales o los reales, y por tanto las potencias de esos números trascendentales podrían dar una base para los espacios vectoriales. Los monomios de estos números trascendentes corresponderían, como se hace en el análisis dimensional, a unidades derivadas. Sumando y restando, por ejemplo $LT^{-1}+M$ daría un punto en el "espacio de las magnitudes físicas" ( Editar e indican la velocidad y la masa medidas de un objeto). Como espacio vectorial sobre los reales este espacio tiene dimensión infinita pero tiene grado de trascendencia de $7$ . Cada magnitud física derivada / básica medida por SI-Unidades correspondería a un punto en este espacio / campo de grado de trascendencia $6$ (o $7$ si cuentas $mol$ lo que no haré):

$$\mathbb{Q}(T,L,M,I,\Theta,J)$$

Disculpe mi pregunta ingenua: ¿Hay alguna razón desde la física para descartar este punto de vista?

Editar : Parece que la idea principal de esta pregunta se puede implementar a través del anillo (anillo polinómico de Laurent) $L:=\mathbb{R}[T,T^{-1},L,L^{-1},M,M^{-1},I,I^{-1},\Theta, \Theta^{-1},J,J^{-1}]$

segunda edición : Me pidieron que diera al menos una aplicación de esta idea, cosa que me gustaría hacer:

Aplicación:

Sea $k(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2-xy}$ para $x \neq 0,y \neq 0, x,y \in \mathbb{R}$ sea un núcleo de similitud de Jaccard / definido positivo definido en $\mathbb{R}$ .

Podemos definir un núcleo de similitud y definición positiva en el anillo de polinomios de Laurent $L$ como :

$$K(x,y) := \frac{1}{N_x + N_y - N_{xy}} \sum_{X_i^{\alpha_i}=Y_j^{\beta_j}} k(a_i,b_j)$$

para $x = \sum_{i} a_i X^{\alpha_i},y = \sum_{j} b_j X^{\beta_j}$ y $X = (T , L, M, I, \Theta,J)$ , $\alpha_i, \beta_j \in \mathbb{Z}^6$ y $X^{\alpha_i},X^{\beta_j}$ son multinomios, y $N_x = $ número de $a_i$ , $N_y =$ número de $b_j$ , $N_{xy} =$ número de $(X^{\alpha_i} = X^{\beta_j})$ .

Desde $k(ca,cb) = k(a,b)$ para todos $a,b,c \neq 0$ deducimos que $K(c \cdot x,c \cdot y) = K(x,y)$ para todos $x,y \in L$ , $c \neq 0, c \in \mathbb{R}$ . Por lo tanto, éste (o cualquier otro núcleo de similitud y definición positiva $k$ con $k(ca,cb) = k(a,b)$ . Esto es para asegurar, que el cambio de escala de las unidades físicas, no cambia la similitud entre los objetos.) nos da la posibilidad de medir la similitud / producto interno de dos objetos físicos $A,B$ cada uno de los cuales se define mediante mediciones $x = \sum_{i} a_i X^{\alpha_i}$ y $y = \sum_{j} b_j X^{\beta_j}$ .

Dado que existen diferentes posibilidades para medir similitudes / definir núcleos definidos positivos, debería haber diferentes posibilidades para definir igualdad / similitud entre dos objetos físicos $A$ y $B$ .

De ahí aposteriori $L$ es un espacio de Hilbert por el teorema de Aaronszajn-Kolmogorov.

Por ejemplo:

El significado de este núcleo es comparar dos objetos físicos. Por ejemplo $A = 10 m/s + 1 kg$ , $B = 9 m/s + 2kg$ , $C = 1 m/s^2+10kg$ . Entonces $K(A,B) = 226/276 = 0.8278$ , $K(A,C) = 10/91= 0.10989$ , $K(B,C) = 5/21 = 0.2381$ . Por lo tanto $A$ es más similar a $B$ , $B$ es más similar a $A$ , $C$ es más similar a $B$ y $A,C$ son los objetos físicos más disímiles de esta lista.

Answer 1

No creo que haya muchas situaciones significativas en las que se sumen cantidades físicas de distinta dimensión (de hecho, esto se considera un tabú, y precisamente el tipo de error que se supone que el análisis dimensional debe evitar que cometamos), así que no creo que considerar el espacio de las cantidades físicas como un campo sea la descripción más fecunda o útil.

En su lugar, permítanme ofrecer el siguiente punto de vista alternativo, que creo que se ajusta mejor a lo que la física hace y por qué lo hace, y que es, en todo caso, como yo pienso en las dimensiones físicas:

Considere la " grupo de homogeneidades " $G = (\mathbb{R}_+^\times)^k$ que es el producto de $k$ copias de los números reales positivos, donde $k$ es el número de "unidades de base" (por lo que $k=7$ en el sistema SI, pero esto depende del tipo de teoría que queramos estudiar: los economistas pueden tener razones para considerar que las divisas o las mercancías son unidades diferentes, mientras que los relativistas no considerarán que el tiempo y la longitud sean unidades diferentes): la cuestión es que $G$ actúa sobre las magnitudes físicas multiplicando cada una de las $k$ cantidades base por el número real positivo correspondiente (por ejemplo, $g=(2,3,1,\ldots)$ podría multiplicar las longitudes por $2$ veces por $3$ y preservar las masas).

El punto crucial de la física es que: en la medida en que la elección de las unidades es arbitraria, $G$ actúa como un grupo de simetrías que preservan la física (por ejemplo, multiplicando todas las longitudes por $2$ y tiempos por $3$ mientras que la conservación de las masas debe mantener la misma física). Así que buscamos cantidades que sean covariantes bajo $G$ . Este es el objetivo del análisis dimensional.

Ahora el grupo $G^*$ de caracteres de $G$ es decir, el grupo de morfismos continuos $\lambda\colon G\to \mathbb{R}_+^\times$ es el grupo $\mathbb{Z}^k$ con $(d_1,\ldots,d_k) \in \mathbb{Z}^k$ enviando $g := (g_1,\ldots,g_k) \in G$ a $g_1^{d_1}\cdots g_k^{d_k}$ . Realmente deberíamos olvidarnos de $k$ y se preocupan por el grupo $G$ que podría no tener una "base de dimensiones" clara (por ejemplo, ¿es la carga eléctrica o la corriente eléctrica la "unidad base"? esto no tiene sentido) e incluso podría incorporar otras transformaciones distintas de las homogeneidades real-positivas (por ejemplo, los cambios de signo en ciertas cantidades podrían ser preservadores de la física).

Así que propongo eso: una "dimensión física" es un elemento $\lambda$ de $G^*$ y una cantidad de esa dimensión es un elemento de la representación correspondiente $V_\lambda$ de $G$ (que es $1$ -porque $G$ es abeliano), es decir, $G$ actúa sobre $V_\lambda$ por $g \mapsto v \mapsto g^\lambda\cdot v$ .

Este $V_\lambda$ es $1$ -dimensional, por lo que es $\mathbb{R}$ como $\mathbb{R}$ -espacio vectorial, pero lo es de forma no canónica, y unidad de medida de la dimensión física $\lambda$ es una base para $V_\lambda$ (probablemente un positivo ya que $V_\lambda$ sigue teniendo una orientación natural).

Tomar la producto de dos magnitudes físicas de dimensiones $\lambda$ y $\mu$ consiste en tomar el producto tensorial $V_\lambda \otimes V_\mu \buildrel\sim\over\to V_{\lambda+\mu}$ mientras que la inversa de una magnitud física $\lambda$ debe considerarse que vive en el doble espacio $V_\lambda^\vee \buildrel\sim\over\to V_{-\lambda}$ . En suma en cambio, sólo tiene sentido en la medida en que es compatible bajo la acción de $\lambda$ es decir, añadiendo elementos del mismo $V_\lambda$ . (Por supuesto, puede considerar $V_\lambda \oplus V_{\lambda'}$ , en algunos casos puede tener sentido, por ejemplo, sumando diferentes monedas en economía, pero la suma directa se divide canónicamente).

Lo que propones hacer, tomando combinaciones racionales arbitrarias de las unidades base y considerándolas como cantidades trascendentales, tendría sentido si el grupo actuante físicamente relevante fuera el grupo de Cremona completo de automorfismos de fracciones racionales. No creo que podamos dar ningún sentido físico a tal acción, por lo que este punto de vista está destinado a seguir siendo muy artificial.

PS: Me gustaría añadir la siguiente observación que muestra que el grupo de simetrías (así, en mi descripción, $k$ ) podría muy bien depender del tipo de teoría que se considere: A los estadounidenses les gusta medir las alturas en pies y distancias planas en millas lo que tiene cierto sentido en una situación en la que se podrían aplicar diferentes homotecias en ambos; la "pendiente fundamental" de $5280\,\mathrm{ft}/\mathrm{mi}$ rompe esta simetría, exactamente de la misma manera que la "velocidad fundamental" conocida como velocidad de la luz de $299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rompe la posibilidad de aplicar diferentes homotecias sobre tiempos y longitudes: no hay diferencia fundamental entre $5280\,\mathrm{ft}/\mathrm{mi}$ y $299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ desde el punto de vista dimensional: son factores de conversión que rompen la posibilidad de elegir dos unidades de forma independiente, lo que, desde el punto de vista pre-rompido, aparece como una constante fundamental de la naturaleza (que puede medirse experimentalmente: si el pie y la milla se hubieran definido por separado utilizando una altura de referencia y una longitud del plano de referencia, la primera sería una magnitud experimental hasta la redefinición de una de las unidades, exactamente igual que la velocidad de la luz en el sistema SI).