¿Por qué los valores propios de los elementos de Jucys-Murphy son números enteros?

Question

Los elementos Jucys-Murphy del álgebra de grupo de un grupo simétrico finito (aquí está la definición en Wikipedia) se sabe que corresponden a operadores diagonales en la base de Young de una representación irreducible de este grupo. Como se puede ver en la entrada de Wikipedia, todos los elementos de dicha matriz diagonal (en otras palabras, los valores propios del operador) son enteros.

Busco una forma sencilla de explicar este hecho (que los valores propios son enteros). Por sencilla quiero decir sin entrar en teoría de la representación más o menos avanzada del grupo simétrico (tabloides, módulos de Specht, etc.), por lo que intentar demostrar la fórmula específica que se da en Wikipedia no es una opción. (Estoy considerando la base de Young como la base de Gelfand-Tsetlin de la representación para la cadena inductiva de grupos $S_1\subset S_2\subset \ldots\subset S_n$ que se define unívocamente gracias a la simplicidad del espectro de esta cadena, no como un conjunto de vectores en correspondencia con los tableaux estándar).

De hecho, estoy intentando demostrar la primera afirmación ( $a_i\in \mathbb{Z}$ ) de la proposición 4.1 en este article .

Answer 1

Esto puede demostrarse utilizando los dos hechos siguientes:

1. $X_n=(1,n)+(2,n)+\ldots+(n-1,n)$ conmuta con cualquier elemento de $\mathbb Z S_{n-1}$
2. Cualquier irreducible $\mathbb Q S_n$ -módulo $V$ se restringe a una $\mathbb Q S_{n-1}$ -módulo (esto se deduce de la regla de ramificación clásica; por supuesto, has dicho que no querías usar tablas, etc., así que no estoy del todo seguro de si esto es compatible con tu idea de "elemental").

La primera implica que $$X_n\in End_{\mathbb Q S_{n-1}}(Res^n_{n-1}V)$$ para cualquier irreducible $\mathbb Q S_n$ -módulo $V$ . Pero, debido al segundo punto y al hecho de que $\mathbb Q$ es un campo de división para $S_{n-1}$ existe un isomorfismo de álgebras $$ End_{\mathbb Q S_{n-1}}(Res^n_{n-1}V) \cong \mathbb Q \oplus \ldots \oplus \mathbb Q $$ Esto demuestra que $X_n$ actúa de forma semisimple sobre $V$ con valores propios en $\mathbb Q$ . Que los valores propios se encuentran en $\mathbb Z$ se deduce del hecho de que $\mathbb Z S_n$ es un $\mathbb Z$ -order (elementos de $\mathbb Z$ -tienen polinomio característico integral y, por tanto, sus valores propios serán integrales sobre $\mathbb Z$ no importa en qué módulo les dejemos actuar).

La afirmación para todos los elementos JM se reduce a esto (espero que quede claro).

Answer 2

Se me ocurrió una prueba más o menos elemental de la identidad a partir del comentario superior a mi pregunta. No implica nada más avanzado que un poco de álgebra lineal básica.

En concreto, indiquemos $X_k=\sum\limits_{i=1}^{k-1} (i,k) \in\mathbb{C}[S_n]$ entonces debemos demostrar $$\prod\limits_{i=-k+1}^{k-1}(X_k-i)=0$$ para todos $1\le k\le n$ . Por comodidad, utilizaremos también $X_k$ para denotar el operador lineal sobre $\mathbb{C}[S_n]$ de multiplicación a la izquierda por $X_k \in \mathbb{C}[S_n]$ .

En primer lugar, demostremos que $X_k$ es un operador diagonalizable. Hay muchas maneras de demostrar este hecho, por ejemplo es fácil ver que $X_k$ es simétrica en la base estándar formada por todos los elementos de $S_n$ (ya que la matriz correspondiente a cualquier $(i,k)$ es obviamente tal).

Teniendo en cuenta la diagonalizabilidad, ahora basta con demostrar que $X_k$ es un subconjunto de $\{-k+1,-k+2,\ldots,k-1\}$ . A partir de $X_1=0$ realizamos por inducción en $k$ .

Supongamos que $\lambda\not\in\{-k,\ldots,k\}$ es un valor propio de $X_{k+1}$ . $X_{k+1}$ conmuta con todos los $\mathbb{C}[S_k]$ incluyendo $X_k$ lo que implica que $X_k$ y $X_{k+1}$ son simultáneamente diagonalizables. Por lo tanto, existe una $v\in\mathbb{C}[S_n]$ que $X_{k+1}v=\lambda v$ y $X_kv=\mu v$ . Nuestra elección de $\lambda$ junto con la hipótesis inductiva proporciona $(\lambda-\mu)\not\in\{-1,0,1\}$ que nos permite considerar el elemento $$u=\left(s_k-\frac1{\lambda-\mu}\right)v$$ donde $s_k=(k,k+1)$ . $u\neq0$ de lo contrario tendríamos $s_kv=\frac1{\lambda-\mu}v\implies \lambda-\mu=\pm1$ desde $s_k^2v=v$ . Finalmente $$X_ku=X_ks_kv-\frac1{\lambda-\mu}X_kv=(s_kX_{k+1}-1)v-\frac\mu{\lambda-\mu}v=\lambda s_kv-v-\frac\mu{\lambda-\mu} v=\lambda u$$ donde empleamos la fácilmente obtenible $s_kX_{k+1}=X_ks_k+1$ . Sin embargo $\lambda$ siendo un valor propio de $X_k$ contradice la hipótesis inductiva debido a nuestra elección de $\lambda$ .

Answer 3

Demostraré que los valores propios de $X_{k+1}$ se encuentran en el intervalo $[-k, k]$ . Como Florian ya ha dado una buena prueba de que los valores propios son enteros, esto responde a tu pregunta.

Lemma: Sea $A$ sea una matriz simétrica con entradas no negativas cuyas filas y columnas sumen todas igual a $k$ . Entonces, para cualquier vector real $v$ tenemos $-k \langle v,v \rangle \leq \langle v, Av \rangle \leq k \langle v, v \rangle$ .

Prueba: Para cualquier vector $v$ tenemos $$\langle v, Av \rangle = k \sum v_i^2 - \sum_{i<j} A_{ij} (v_i-v_j)^2 \leq k \sum v_i^2 = k \langle v,v \rangle$$ como desee. La igualdad $\langle v, Av \rangle = -k \sum v_i^2 + \sum_{i<j} A_{ij} (v_i+v_j)^2$ demuestra lo contrario. $\square$

Ahora, la matriz de $X_{k+1}$ actuando sobre la representación regular obedece claramente a las condiciones del lema. Tomando $v$ sea un vector propio con valor propio $\lambda$ deducimos que $-k \leq \lambda \leq k$ según se desee.

Answer 4

Una prueba muy sofisticada del hecho :) Sólo para relacionarlo con la pregunta sobre la ecuación de Knizhnik-Zamolodchikov:

Encuentra el polinomio p(z) con valores en C[S_n] tal que p'(z) = \sum_i (Id+(1i))/(z-i) p(z). [Ecuación de Knizhnik-Zamolodchikov para S_n]

Consideremos la siguiente EDO KZ:

$ p'(z) = \sum_{i=2...n} \frac{ Id + \pi( (1i) )}{z-z_i} p (z) $

Como se discute en MO-pregunta anterior se sabe que tiene solución polinómica.

El residuo en el infinito es igual a $Res=-\sum_{i=2...n} { Id + \pi( (1i) )}$ . Que es nuestro querido JM-elemento hasta firmar y n*Id.

Por lo tanto sus valores propios deben ser enteros no positivos (esto es obvio ya que en el infinito la solución se parece a $(1/z)^{Res}, por lo que con el fin de ser polinómico en z deben ser enteros no positivos). Por lo tanto hemos terminado.

Además tenemos que eigs son mayores o iguales -n (como David Speyer demostró directamente arriba).

Answer 5

No es una respuesta, más bien un largo comentario...

1) Lo siento: mis mensajes anteriores eran incorrectos, los corregiré a continuación.

2) Les sugiero que incluyan la declaración y la prueba en el artículo de la Wiki, es bastante digno y ya que fue escrito principalmente por mí, imho podría dar tal sugerencia.

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El mensaje principal es que existe "cierta relación" (descrita más adelante) entre la subálgebra conmutativa máxima estándar de Gelfand-Tsetlin en $U(gl_M)$ y la subálgebra conmutativa máxima en $C[S_M]$ generados por elementos de Jucys-Murphy. La relación consta de dos pasos que pueden verse como dualidad generalizada Schur-Weyl y dualidad generalizada $gl_M - gl_N$ dualidad. Ambos pasos implican un objeto intermedio - "flujo de flexión" subálgebra conmutativa en $U(gl_N \oplus ... \oplus gl_N)$ (la suma contiene $M$ términos). En pocas palabras, estas dualidades generalizadas dicen que: las imágenes en ciertas representaciones de estas subálgebras conmutativas coinciden.

Como se me olvidan algunos detalles NO volvería a hacer la afirmación de que "los elementos JM van a "Casimires cuadráticos"", lo que podría dar otra (pero muy larga) forma de responder a la pregunta de Igor. Simplemente describir la relación que podría ser interesante por sí misma.

Paso 1. Schur-Weyl generalizado de JM a "flujos de flexión". (Paso bastante trivial).

Considere $V=C^N \otimes ... \otimes C^N$ ( $M$ términos en el producto tensorial). $C[S_M]$ actúa aquí de forma natural. $U(gl_N \oplus ... \oplus gl_N)$ sobre $End(V)$ . Dado que surjects podemos encontrar ciertos elementos en $U(gl_N \oplus ... \oplus gl_N)$ que son mapeados a elementos JM, además requerimos que tales elementos sean cuadráticos en generadores de $U(gl_N \oplus ... \oplus gl_N)$ y fijaría estos elementos. La idea básica es que el operador de permutación (12) que actúa en $C^N\otimes C^N$ es OBVIAMENTE una imagen de $\sum_{ij} E_{ij}\otimes E_{ji} \in U(gl_N)\otimes U(gl_N)=U(gl_N\oplus gl_N)$ y nada más que eso.

Por $E_{ij}$ denota la matriz con $1$ en la posición $(ij)$ y ceros en el resto.

Así obtenemos cierta subálgebra conmutativa en $U(gl_N \oplus ... \oplus gl_N)$ tal que es "dual de Schur-Weyl" a la subálgebra JM, lo que significa que las imágenes de estas subálgebras en $End(V)$ coinciden. Tal subálgebra conmutativa se denomina "flujos curvados generalizados" o simplemente "flujos curvados", por la razón que se comenta a continuación.

Segundo paso. $GL_M-GL_N$ -dualidad de los "flujos de flexión" a Gelfand-Tsetlin. (Este paso no es tan trivial). Se debe principalmente a Flaschka y Millson - sección 8 de http://arxiv.org/abs/math.SG/0108191

Consideremos el espacio vectorial $W = S(C^N\otimes C^M) = S(C^N \oplus ... \oplus C^N)$ (términos M en suma) y $S$ denota el álgebra simétrica del espacio vectorial. Álgebras de Lie $gl_M$ y $U(gl_N \oplus ... \oplus gl_N)$ actúa sobre $W$ de forma natural.

Teorema: las imágenes en $End(W)$ de GT y "flujos de flexión" coinciden.

En tal forma es Teorema 2 página 9 en nuestro papel: http://arxiv.org/abs/0710.4971

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¿Por qué el nombre de "flujos de flexión"? Si hacemos consideraciones similares para $U(so_3 \oplus ... \oplus so_3)$ o más exactamente su álgebra de Poisson de grado asociada $S(so_3 \oplus ... \oplus so_3)$ obtenemos allí una subálgebra conmutativa (de Poisson).

Lo bonito es que los generadores de tipo "JM" tienen una interpretación geométrica muy bonita. Podemos identificar $so_3=R^3$ por lo que los elementos de $(so_3 \oplus ... \oplus so_3)$ puede verse como $M$ -gonos en $R^3$ . La afirmación es que si "doblamos" el polígono a lo largo de las diagonales no intersecantes entonces tales flujos serán hamiltonianos y estarán definidos por generadores de tipo JM en $S(so_3 \oplus ... \oplus so_3)$ . Bueno, he omitido algunos detalles y puede que el comentario no sea tan claro, uno debe hacer dibujos simples para ver lo que está pasando.

Se propusieron flujos de flexión para $S(so_3 \oplus ... \oplus so_3)$ en el artículo M. Kapovich, J. Millson, The symplectic geometry of polygons in Euclidean space,J. Differ. Geom. 44, 479-513 (1996)

Generalizado posteriormente en varios artículos, en particular en Gregorio Falqui, Fabio Musso, Gaudin Models and Bending Flows: a Geometrical Point of View, J. Phys. A 36 (2003), no. 46,11655–11676. nlin.SI/0306005

http://arxiv.org/abs/nlin/0306005