El centro de un álgebra de von Neumann de representación, y subgrupos de índice finito

Question

Consideremos un grupo (contable) $G$ un subgrupo $H\leq G$ de índice finito, y una representación unitaria $\pi:G\to \mathcal{U}(\mathcal{H})$ .

Si el centro del álgebra de von Neumann $\pi(H)''$ es de dimensión finita, ¿implica esto que el centro de $\pi(G)''$ ¿también es de dimensión finita? ¿Es al menos cierto suponiendo que la representación $\pi$ se induce a partir de una representación de $H$ ?

Observaciones:

• Por lo que a mí respecta, $H$ puede asumirse que es normal si simplifica las cosas.
• Si $\pi$ es de tipo I, entonces la cuestión es si $\pi$ se descompone en un número finito de representaciones irreducibles siempre que la restricción $\mathrm{Res}_H^G\pi$ hace. Esto es obviamente cierto.

Answer 1

La respuesta es SÍ y se deduce de la teoría general de inclusiones de índice finito de subálgebras de von Neumann (a la Jones, Pimsner, Popa...), que dice que la dimensionalidad finita del centro se conserva al tomar una subálgebra/extensión de índice finito. Esto es tal vez una exageración y por lo que voy a tratar de una prueba de lego.

Definición. Una inclusión $M\subset N$ de las álgebras de von Neumann es de índice finito si existe una expectativa condicional (necesariamente fiel normal) $E$ de $N$ en $M$ tal que $E\geq\lambda\,\mathrm{id}_N$ para algunos $\lambda>0$ .

Tenga en cuenta que $E$ mapas $Z(N)$ en $Z(M)$ y que un álgebra de von Neumann $A$ es de dimensión finita si $\mathbb{C}1\subset A$ es de índice finito. Por tanto, si $M\subset N$ es de índice finito, entonces $$\dim Z(M)<\infty\Rightarrow\dim Z(N)<\infty.$$

Por ejemplo. Si $H\le G$ es de índice finito, entonces la inclusión $\pi(G)'\subset\pi(H)'$ es de índice finito con la expectativa condicional dada por $$E(x)=\frac{1}{[G:H]}\sum_{g\in G/H}\pi(g)x\pi(g)^*,$$ que satisface $E\geq\frac{1}{[G:H]}$ . Por lo tanto $\dim Z(\pi(G)'') <\infty\Rightarrow\dim Z(\pi(H)'') <\infty$ .

Queremos demostrar lo contrario. Como dije al principio, una forma es utilizar la maquinaria del álgebra de von Neumann (la forma estándar y la construcción básica) para "voltear" la inclusión. He aquí una forma alternativa. Pasando a un subgrupo de índice finito, podemos suponer que $H$ es normal. Tomemos una realización natural (que me da pereza escribir) de la representación inducida $\mathrm{Ind}_H^G\,\pi$ en $\ell_2(G/H)\otimes\mathcal{H}$ que satisfaga $$(\mathrm{Ind}_H^G\,\pi)(H)''\subset(\mathrm{Ind}_H^G\,\pi)(G)''\subset B(\ell_2(G/H)) \otimes\pi(H)''.$$ Entonces se puede demostrar la inclusión conmutante ${\mathbb C}1\otimes\pi(H)'\subset (\mathrm{Ind}_H^G\,\pi)(H)'$ es de índice finito (a través de la expectativa condicional procedente de la traza en $B(\ell_2(G/H))$ ) y, por tanto, la inclusión intermedia ${\mathbb C}1\otimes\pi(H)'\subset (\mathrm{Ind}_H^G\,\pi)(G)'$ también es de índice finito. De esto y del hecho de que $\pi\subset\mathrm{Ind}_H^G\,\pi$ , se obtiene $$\dim Z(\pi(H)'') <\infty\Rightarrow\dim Z(\pi(G)'') <\infty.$$