¿Cuándo una órbita coadjunta es un sistema integrable (en un sentido débil que se explica más adelante)?

Question

Sea $X$ sea una variedad simpléctica holomorfa afín de dimensión $2n$ con el paréntesis de Poisson asociado { , }. Digamos que es un sistema integrable cuando hay $n$ funciones holomorfas algebraicamente independientes $I_i$ ( $i=1,\ldots,n$ ) en $X$ de forma que coincidan en Poisson: $\{I_i,I_j\}=0$ .

Elige un álgebra de Lie simple $\mathfrak{g}$ y elegir una órbita coadjunta $O\subset \mathfrak{g}^*$ . Como es bien sabido, se trata naturalmente de una variedad simpléctica holomorfa: $x,y\in \mathfrak{g}$ da una función sobre $O$ y su corchete de Poisson viene dado por el corchete de Lie:

$\{x,y\}_{PB}=[x,y]$ .

Me pregunto qué órbita coadjunta es integrable, en el sentido dado anteriormente.

Por ejemplo, cualquier órbita regular $O$ de $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(n)$ es integrable: sea $X:\mathfrak{g}^*\to\mathfrak{g}$ sea la identificación mediante el producto interior invariante, elija un elemento genérico $a\in \mathfrak{g}$ y consideremos una función sobre $O$ dada por

$P_k(t)= \mathrm{tr} (X+ta)^k$

donde $t$ es un número complejo. (Lo siento por una notación un poco confusa, pero $a$ es una función constante en $O$ tomando valor en $\mathfrak{g}$ .)

Después de algunas manipulaciones, $P_k(t)$ y $P_{k'}(t')$ coinciden en Poisson. Por lo tanto, los coeficientes $P_{k,i}$ de $t^i$ de $P_k(t)$ todos de Poisson. Obsérvese que $P_{k,k}$ es una función constante en $O$ porque $O$ es una órbita coadjunta. Entonces hay en total $1+2+\cdots+(n-1) = (\dim \mathfrak{gl}(n)-\mathrm{rank} \mathfrak{gl}(n))/2$ operadores de desplazamiento independientes.

Permítanme conjeturar que todas las órbitas coadjuntas son integrables.

Otra gran clase de variedades simplécticas holomorfas afines son las variedades quiver de Nakajima, que incluyen todas las órbitas coadjuntas de $\mathfrak{gl}(n)$ . Se puede plantear una pregunta similar: ¿qué variedad de carcaj es integrable en este sentido?

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Actualización

Gracias a las respuestas obtenidas hasta ahora, he podido localizar referencias, véase, por ejemplo, el final de la Sec. 4 de este documento demostrando que cualquier órbita coadjunta de álgebras de Lie reales compactas es integrable. Supongo que la demostración debería aplicarse a las órbitas semisimples (y presumiblemente a las órbitas nilpotentes de Richardson) de álgebras de Lie complejas semisimples, en el sentido holomórfico. Así que la pregunta ahora es: ¿qué pasa con las órbitas nilpotentes en $\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$ ?

Actualización 2

De hecho, A. Joseph dice en este artículo que demostró esencialmente que las órbitas de Richardson son integrables en este artículo (en el entorno de las álgebras envolventes, no las gradadas asociadas.) Sería interesante, por ejemplo, que las órbitas no especiales no fueran integrables... pero no tengo ni idea.

Answer 1

He aquí la respuesta (SÍ) de Alexey Bolsinov, que es uno de los principales expertos en estas cuestiones.

"La respuesta es SÍ

Existe una construcción muy general que permite construir un sistema integrable en más o menos cualquier órbita coadjunta para un álgebra de Lie arbitraria (no necesariamente semisimple). Este es un artículo reciente de Vinberg y Yakimova disponible en arxiv

http://arxiv.org/abs/math/0511498 Familias completas de funciones conmutativas para acciones hamiltonianas coisotrópicas

En el caso concreto del que hablas (SEMI-SIMPLE g) la respuesta positiva se desprende de 2 resultados:

1) los llamados desplazamientos de invariantes polinómicos dan un sistema completamente integrable en una órbita adyacente singular O(b) en un álgebra de Lie semi-simple G si y sólo si

el índice del centralizador de b coincide con el índice de G

(mi artículo en Izvestija AN SSSR, 1991 y Acta Appl. Math. 1991), ambos disponibles en mi página web

Bolsinov A.V. Commutative families of functions related to consistent Poisson brackets// Acta Appl. Math., 24(1991), pp. 253-274.

También conjeturé que

esta condición ind Cent (b) = ind G, de hecho, se cumple para todos los elementos singulares b \in G y comprobado para G=sl(n) (en particular para todos los nilpotentes)

2) Esta conjetura (ampliamente conocida como conjetura de Elashvili) se ha demostrado para un álgebra de Lie semimple arbitraria y para todos los elementos (de hecho, la demostración se reduce fácilmente a los elementos nilpotentes).

En primer lugar, Elashvili lo hizo mediante, en cierto sentido, un cálculo directo que en el caso más difícil de e_8 implicaba algún programa informático (inédito)

Recientemente, Jean-Yves Charbonnel (IMJ) y Anne Moreau han realizado una prueba conceptual (disponible en arxiv).

http://arxiv.org/abs/1005.0831 El índice de centralizadores de elementos de álgebras de Lie reductoras

Que yo sepa, ésta es la única forma universal conocida de construir un sistema integrable en una órbita arbitraria.

Observación: Hablo de sistemas integrables clásicos, no cuánticos. Estos sistemas también se pueden cuantizar, pero esto es otra historia. "

Answer 2

Éste es un resultado relacionado de Azad, Ban y Biswas que puede interesarle.

Sea $G$ sea un grupo de Lie complejo semisimple, $\mathfrak{g}=\textrm{Lie}(G)$ . Sea $c\in \mathfrak{g}$ sea un elemento semisimple y $\mathcal{O}:=\textrm{Ad}(G)\cdot c$ . Sea $\Omega$ sea la forma simpléctica (holomorfa) de Kostant-Kirillov. Supongamos que todos los valores propios de $\textrm{ad}(c)$ son reales. Entonces $(\mathcal{O},\textrm{Re }\Omega)\simeq T^\vee (G/P)$ donde $P\subset G$ es cualquier parabólica con componente Levi $Z(c)$ el centralizador de $c$ en $G$ . Aquí $\simeq$ significa ''un isomorfismo de variedades simplécticas reales'', y $T^\vee (G/P)$ está dotada de la forma simpléctica de Liouville.

Un resultado similar es válido si todos los valores propios de $\textrm{ad}(c)$ son puramente imaginarios, pero entonces tienes que tomar $\textrm{Im }\Omega$ .

Esto generaliza un teorema de Arnold para $SL(n,\mathbb{C})$ .

Answer 3

Mi impresión es que para g semisimple (al menos g clásico) debería saberse que esto es cierto. Pero ahora no puedo proporcionar una referencia.

No estoy seguro de los detalles, pero la conjetura que suena similar a veces se asocia con los nombres de A.S. Mishchenko y A.T. Fomenko (principios de los 80). Por lo que tengo entendido, su conjetura es que cualquier g (no sólo semisimple) tiene una subálgebra conmutativa de Poisson máxima en S(g). No estoy seguro de si conjeturan que podemos encontrar sistemas int. en cualquier órbita. Puede que no explícitamente. Hay una gran cantidad de trabajos sobre esta conjetura. Algunos nombres - A. Bolsinov, Trofimov, el mismo Fomenko escribieron libros sobre ello, muchos de sus estudiantes trabajaron en ello. Le sugiero que consulte

http://arxiv.org/abs/math/0702583

El método de desplazamiento de argumentos y subálgebras conmutativas maximales de álgebras de Poisson

Dmitri I. Panyushev, Oksana S. Yakimova

Por lo que tengo entendido se plantean la cuestión no sólo para g, sino también para cualquier afín Poisson colector (no estoy seguro de este trabajo o no - pero Yakimova seguramente discutido).

Sobre quivers - El viejo artículo de Nekrasov contiene algunos ejemplos de int.sys. sobre quivers arxiv.org/abs/hep-th/9503157 . Mi sensación era que uno puede ver (al menos algunos de) quivers como espacios de moduli en haces vectoriales en curvas muy degeneradas y por lo tanto estos son en cierto sentido el sistema de Hitchin.