Grupo libre de rango finito: subgrupo de índice finito

Question

Este es un resultado bien conocido, pero no puedo encontrar una prueba de ello sin utilizar la topología.

Sea $m\geq2$ sea un número entero. Entonces el grupo libre de rango $2$ contiene un grupo libre de rango $m$ como subgrupo de índice finito.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios uno puede simplemente mirar el núcleo de epimorfismos al grupo cíclico finito para encontrar los grupos. Por ejemplo $$f_n: F_2 \to C_n, x \mapsto \mathrm{generator},y \mapsto id$$ y observe que $[F_2 : \ker f_n]=n$ y existe una fórmula bien conocida $$[F_2:H]=\frac{\mathrm{rank}(H)-1}{\mathrm{rank}(F_2)-1},$$ que puede encontrarse en Combinatorial Group Theory, de Lyndon y Schupp (Prop 3.9 Capítulo I) utilizando "métodos combinatorios" en lugar de topológicos. Esto implica para nuestro caso que $\mathrm{rank}(\ker f_n)=n+1$ por lo que obtenemos que existen subgrupos libres de índice finito de rango $\geq 2$ .