La definición algebraica estándar de una estructura compleja $I$ es $I^2=-1$ . Sobre pares reales $(a,b)$ se representa como $(a,b)\mapsto (-b,a)$ . Pero ¿y si no hemos tenido los pares negativos de reales $-(a,b)=(-a,-b)\quad\Leftrightarrow\quad I^2=-1$ y sólo tenía la única involución real $a\mapsto -a$ . ¿Se conoce una definición de $I$ mediante la composición de dos involuciones independientes sobre parejas? Me refiero al intercambio $(a,b)\mapsto (b,a)$ y el cambio de signo de una entrada $(a,b)\mapsto (-a,b)$ ? Ambos parecen más primitivos, por lo que son más fundamentales.
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rschwieb
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No sé exactamente lo que me pregunta. En la superficie, parece que usted está entusiasmado con la factorización $\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}$ .
Por supuesto, existe una descomposición igualmente plausible utilizando la conjugación compleja en lugar de la negación de los números reales $(a,b)\mapsto (a,-b)$ lo que produciría una factorización
$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}$ .
Podemos jugar a estos juegos todo el día con diferentes involuciones. La pregunta es: ¿nos aportan algo las que nos parecen especiales(/fundamentales/primitivas)?
Personalmente no veo ninguna. Por lo que veo, lo "especial" no es más que un artefacto de la base con la que trabajamos. El producto de estas involuciones particulares no es fundamentalmente diferente del producto de otras dos involuciones cualesquiera.
