¿Qué es una red ideal?

Question

¿Puede alguien describir en términos sencillos qué es una red ideal? Las he visto mencionadas en muchos sitios, pero no he encontrado una buena definición de lo que son exactamente, ni buenos términos para saber por dónde empezar mi búsqueda para encontrar más información.

Tampoco sé exactamente qué puede ser una red no ideal :P

Answer 1

No sé mucho sobre celosías ideales fuera de la definición, pero puedo empezar con lo que es una celosía. Si $n \geq 1$ , a celosía en $V = \mathbb{R}^n$ es un subgrupo aditivo de la forma $$\Gamma = \mathbb{Z}v_1 + \cdots + \mathbb{Z}v_t$$ donde $v_1, ... , v_t$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ . Si $t = n$ entonces $\Gamma$ se denomina celosía completa (muchos autores se refieren a celosía completa cuando escriben celosía). En otras palabras, un enrejado es un grupo abeliano libre (es decir, un grupo abeliano con un $\mathbb{Z}$ -), con una base que también es linealmente independiente sobre $\mathbb{R}$ .

Por ejemplo, si $V = \mathbb{R}$ entonces $\Gamma = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\pi$ es no un enrejado, porque el $\mathbb{Z}$ -base $1, \pi$ para $\Gamma$ no es linealmente independiente sobre $\mathbb{R}$ .

Pero si $V = \mathbb{R}^3$ entonces $\Gamma = \mathbb{Z}(1,0,0) + \mathbb{Z}(1,0,1)$ es una red (de rango dos).

En realidad, existen varias condiciones equivalentes para un subgrupo aditivo $\Gamma$ de $V$ para ser un enrejado:

(i) $\Gamma$ es una red.

(ii) $\Gamma$ es un subgrupo discreto (en cada punto $x$ en $\Gamma$ se puede encontrar un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ acerca de $x$ que no contiene ningún otro punto de $\Gamma$ )

(iii) Todo subconjunto acotado de $\mathbb{R}^n$ se cruza con $\Gamma$ como máximo en un número finito de puntos.

También se puede hablar de grupos cociente. Si $\Gamma$ es una red en $V = \mathbb{R}^n$ se puede hablar del grupo cociente $V/\Gamma$ . Por ejemplo, si tomamos $V = \mathbb{R}$ y la red $\Gamma = \mathbb{Z}$ entonces $V/ \Gamma = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es realmente sólo el círculo. Como grupo topológico, el círculo es compacto. En términos más generales, si $\Gamma = \mathbb{Z}v_1 + \cdots + \mathbb{Z}v_t$ para $v_1, ... v_t$ linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ puede ampliar $v_1, ... , v_t$ a una base $v_{t+1}, ... , v_n$ para $V$ . Entonces el grupo cociente $V/\Gamma$ es $$(\mathbb{R}v_1 + \cdots + \mathbb{R}v_n)/(\mathbb{Z}v_1 + \cdots + \mathbb{Z}v_t) \cong \frac{\prod\limits_{i=1}^n \mathbb{R}}{\prod\limits_{i=1}^t \mathbb{Z} \times \prod\limits_{i=t+1}^n \{0\}} $$ $$ \cong \prod\limits_{i=1}^t \mathbb{R}/\mathbb{Z} \times \prod\limits_{i=t+1}^n \mathbb{R} $$ Así $\Gamma$ es una red completa si y sólo si $t = n$ si y sólo si $V/\Gamma$ es compacto. Para pruebas detalladas, véanse las excelentes notas de J.S. Milne sobre teoría algebraica de números.