Variedad de álgebras de Lie nilpotentes o $p$ -grupos

Question

He aquí un par de cuestiones análogas, una en términos de álgebras de Lie complejas de dimensión finita y otra en términos de álgebras de Lie complejas de dimensión finita. $p$ -grupos; me interesaría una respuesta a cualquiera de ellos:

1) Que $\mathcal{L}$ sea una clase cerrada por isomorfismo de álgebras de Lie complejas nilpotentes de dimensión finita. Supongamos que $\mathcal{L}$ es cerrado al tomar productos directos finitos, subgrupos y cocientes. Supongamos que no satisface ninguna identidad común (es decir, cualquier álgebra de Lie libre es residualmente- $\mathcal{L}$ ). ¿Tiene $\mathcal{L}$ ¿Está formada necesariamente por todas las álgebras de Lie complejas nilpotentes de dimensión finita?

2) Que $p$ sea primo. Sea $\mathcal{C}$ sea una clase cerrada por isomorfismo de finitos $p$ -grupos. Supongamos que $\mathcal{C}$ es cerrado al tomar productos directos finitos, subgrupos y cocientes. Supongamos que no satisface ninguna identidad común (es decir, cualquier grupo libre es residualmente- $\mathcal{C}$ o, lo que es lo mismo, el grupo libre sobre 2 generadores es residualmente- $\mathcal{C}$ ). ¿Tiene $\mathcal{C}$ consiste necesariamente en todos los $p$ -¿Grupos?

(Nota: hago ambas preguntas en positivo, pero no espero especialmente una respuesta positiva).

Answer 1

He aquí alguna idea, no es muy precisa. Deje $F$ sea el grupo libre sobre dos generadores y sea $F_p$ sea su pro- $p$ terminación. Sea $w$ sea una palabra infinita en $F_p$ es decir, un elemento de $F_p$ que no está en $F$ . Sea $W$ sea el subgrupo verbal cerrado de $F_p$ generado por $w$ . Creo que es posible elegir $w$ para que $W \cap F$ es trivial. Por ejemplo, el primer subgrupo de congruencia de $SL_2(\mathbb{Z}_p)$ ( $p>2)$ satisface un pro- $p$ identidad debida a Zubkov, pero creo que tiene un grupo libre denso.

Sea $D_n$ sea el $n$ -de los subgrupos de $F_p$ . Entonces, si no recuerdo mal, hay una forma canónica de escribir $w=w_nu_n$ donde $u_n \in D_n$ . Tome su variedad para ser todos los grupos que satisfacen $w_n$ para algunos $n$ . Supongo que satisfarán sus necesidades.

No estoy seguro de que esta idea funcione, pero si te gusta y necesitas más referencias, ponte en contacto conmigo.