Demostración de la unicidad de antípodas en álgebras de Hopf

Question

Sea $(H,\mu,\nu,\Delta,\epsilon)$ sea una Bialgebra donde H es el espacio vectorial, $\mu, \nu$ son el producto y la unidad mientras que $\Delta, \epsilon$ son el coproducto y el conit. Ahora, para $f,g \in end(H)$ defina $f@g \in end(H)$ por $f@g=\mu(f \otimes g)\Delta(x)=\Sigma_{(x)}f(x')g(x'')$ (mediante la notación de Sweedler).

Un elemento $S \in end(H)$ se llama antípoda si

$S@id_H=id_H@S=\nu\circ\epsilon$

Si una Bialgebra tiene una antípoda, entonces es única. Para ver esto, supongamos $S,T$ son antípodas para la bialgebra $H$ . Entonces tenemos:

$S = S@(\nu\epsilon)=S@(id_H@T)=(S@id_H)@T=(\nu\epsilon)@T=T$

¿Puede alguien explicarme la primera igualdad? ¿Por qué obtenemos $S = S@(\nu\epsilon)$ ?

Answer 1

Sabemos que una antípoda para una bialgebra $H$ es un mapa lineal $S:H \rightarrow H$ que es una convolución inversa de $id_H$ .

Recordemos que la unidad del producto de convolución es $$1_{\text{End}(H)}=\nu \circ\epsilon $$ Prueba: $$f*(\nu\epsilon) = \mu \circ(f \otimes \nu\epsilon) \circ \Delta = \mu \circ (A \otimes \nu) \circ (f \otimes \mathbb{k})\circ (C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \\= r_A \circ (f \otimes \mathbb{k}) \circ(r_C)^{-1} = f$$ (si te pierdes la segunda igualdad puedes leer una explicación completa aquí )

Así que.., $\forall f \in \text{End}(H)$ se cumple lo siguiente (porque $f*id = f$ en cualquier contexto algebraico): $$f * 1_{\text{End}(H)}= f$$

Ahora, toma $S \in \text{End}(H)$ y escribir lo mismo: $$S = S * 1_{\text{End}(H)}$$

pero $1_{\text{End}(H)}=\nu \circ\epsilon $ Así que

$$S = S *\nu \epsilon$$