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El argumento simple contiene un error que se revela al estudiar el problema del valor inicial \begin{align} x(0) &= 1 \\ x'(t) &= x(t) \end{align} En este caso, todas las cantidades pueden calcularse explícitamente y compararse. La solución exacta es $$x(t) = e^t.$$ El método de Euler adopta la forma \begin{align} y_0 &= 1 \\ y_{j+1} &= y_j + y_j h. \end{align} De ello se deduce que $$y_n = (1+h)^n.$$ El error de truncamiento en $t_j = jh$ es $$ \epsilon_j = x(t_{j+1}) - \left( x(t_j) + x(t_j)h\right) = e^{(j+1)h} - e^{jh}(1+h).$$ De ello se deduce que la suma de los errores de truncamiento son $$ T_n = \sum_{j=0}^{n-1} \epsilon_j = e^h \sum_{j=0}^{n-1} (e^h)^j - (1+h) \sum_{j=0}^{n-1} (e^h)^j = (e^h - 1 - h) \frac{e^{nh}-1}{e^h-1}.$$ En cambio, el error global en $t=nh$ es $$ E_n = e^{nh} - (1+h)^n.$$ Tenemos $T_n = E_n$ sólo si $$ (e^{nh} - (1+h)^n)(e^h - 1) = (e^h - 1 - h)(e^{nh}-1)$$ o equivalentemente $$ e^{(n+1)h} - e^{nh} - (1+h)^n e^h + (1+h)^n = e^{(n+1)h} - e^h - e^{nh} + 1-he^{nh} + h$$ o equivalentemente $$(1-e^h)(1+h)^n = 1-e^{h} + h(1-e^{nh})$$ o equivalentemente $$(1+h)^n = 1 + h \frac{e^{nh} - 1}{e^h - 1}$$ o equivalentemente $$\frac{(1+h)^n - 1}{h} = \frac{e^{nh} - 1}{e^h - 1}$$ Ahora para fijo $n$ el lado izquierdo es un polinomio en $h>0$ de grado $n-1$ . El lado derecho no es un polinomio de $h>0$ de grado $n-1$ a menos que $n=1$ . Concluimos que $T_n = E_n$ sólo si $n=1$ .
El argumento simple contiene un error que depende de la diferencia entre el error global y el error de truncamiento local.
Para eliminar cualquier duda, daré todas las definiciones relevantes Considere el problema de valor inicial \begin{align} x'(t) &= f(t,x(t)) \\ x(t_0) &= x_0 \end{align} donde $f$ es tal que existe una solución única $x$ para cualquier valor inicial $(t_0,x_0)$ . Sea $h > 0$ y fijar $t_j = t_0 + jh$ . El método explícito de Euler viene dado por \begin{align} y_{j+1} &= y_j + h f(t_j,y_j), \quad j = 0,1,2,\dots \\ y_0 &= x_0 \end{align} y utilizamos $y_j$ como aproximación de $x(t_j)$ . El error global $e_j$ viene dado por $$e_j = x(t_j) - y_j, \quad j = 0,1,2\dotsc $$ Para acotar el error global necesitamos una fórmula de error. Tenemos una iteración para $y_j$ por lo que es natural buscar una iteración para $x_j:=x(t_j)$ . Por la fórmula de Taylor tenemos al menos una $\xi_j \in (t_j,t_{j+1})$ tal que $$x_{j+1} = x(t_{j+1}) = x(t_j + h) = x(t_j) + x'(t_j)h + \frac{1}{2}x''(\xi) h^2 \\= x_j + f(t_j,x_j)h + \frac{1}{2}x''(\xi_j) h^2.$$ Concluimos que el $x_j$ satisfacen una iteración que es bastante similar al método de Euler. El error de truncamiento local $\epsilon_j$ a la vez $t_{j}$ es el término de error dado por $$\epsilon_j = \frac{1}{2}x''(\xi_j) h^2.$$ Vemos que el error de truncamiento local es la diferencia entre $x(t_{j+1})$ y un único paso del método de Euler a partir del punto inicial $(t_{j},x(t_j))$ es decir, $$ x_{j+1} - ( x_j + f(t_j,x_j)h) = \frac{1}{2} x''(\xi_j) h^2.$$ Es esta relación la que nos permite derivar una desigualdad del tipo $$ |e_{j+1}| \leq (1 + Lh) |e_j| + \frac{1}{2} M h^2,$$ lo que conduce al límite $$ |e_n| \leq \frac{1}{2} Mh \frac{e^{LT} - 1}{L}, \quad 0 \leq nh \leq T$$ Sin embargo, en general no es cierto que el error global satisfaga $$e_n = \epsilon_0 + \epsilon_1 + \epsilon_2 + \dotsc + \epsilon_{n-1}$$ El lado derecho incorpora información sobre los pasos de Euler individuales de $n$ diferentes puntos de la curva de solución exacta. A diferencia del lado izquierdo, no dispone de información sobre la aplicación repetida del método de Euler partiendo de un único punto.
