Límite de $\frac{n^n}{(n+1)^n}$ a medida que n se acerca al infinito

Question

Esto es lo que he hecho:

$$\frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \exp(\log\left(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right) = \exp(n\log\left(\frac{n}{n+1}\right)$$

Y entonces puedo tomar el límite así:

$$\exp\left(\lim\limits_{n \to \infty}n\log\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)$$

Pero, ¿hacia dónde?

Answer 1

Sin recurrir a L'Hopital y utilizando sólo las igualdades básicas, \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} &= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \\ &= e, \end{align*} por lo que el recíproco tiende a $1/e$ .

Answer 2

$$\exp\left(\lim\limits_{n \to \infty}n\log\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)$$ $$= \exp\left(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\log\left(\frac{n}{n+1}\right)}{\frac{1}{n}}\right)$$ $$= \exp\left(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2 + n}}{\frac{-1}{n^2}}\right)$$ $$= \exp\left(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{-n^2}{n^2 + 1}\right)$$ $$= \exp(-1)$$ $$ = \frac{1}{e}$$

Answer 3

Si acepta que $e$ es el único número tal que $1 = ∫_1^e \frac{dt}{t}$ entonces existe una prueba aquí de $(1+\frac{1}{n})^n→ e$ que luego da por el argumento de Nitin el resultado.