EDIT: Contraejemplo encontrado. La afirmación es FALSA.
Sin embargo, creo que el argumento sigue teniendo valor. Es cierto si se restringe el dominio a $[0.223,0.716]$ . Tal vez $[\frac{3}{10},\frac{7}{10}]$ ¿para que sea menos "obvio"?
Demostrar la desigualdad $|y \ln{y} - x \ln{x}| < 2 |\ln{\frac{1}{|y-x|}}|$ cuando $x,y \in (0,1]$ , $x \neq y$ .
Supongamos que WLOG $y > x$ .
He probado el Teorema del Valor Medio. Para algunos $c \in (0,1)$ : \begin{align*} |y \ln{y} - x \ln{x}| &= (1+\ln{c})(y-x) = (\ln(e)+\ln(c))(y-x)\\ & \leq 2 \ln{\frac{1}{(y-x)}} \text{ if and only if } \frac{(y-x)^2}{e} \leq c \leq \frac{1}{e(y-x)^2} \end{align*}
Por tanto, la desigualdad es cierta cuando $$ \frac{(y-x)^2}{e} \leq x \leq y \leq \frac{1}{e(y-x)^2} $$
en el que $c$ está entre $x$ y $y$ . Ahora tenemos que demostrar para los siguientes casos de una manera diferente: \begin{align*} x < \frac{(y-x)^2}{e} &\implies x^2 - (2+e)x + 1 > 0 : \text{when 0<x<0.222ish}\\ \frac{1}{e(y-x)^2} < y &\implies y > e^{-1/3} : \text{when y > e^-1/3 = 0.716ish } \end{align*}
como $1-x>y-x>y$ . Creo que esta afirmación debe ser cierta porque algunos de los casos pueden ser atendidos por MVT, y los casos en los que no puede ser resuelto por MVT son cuando $x$ y $y$ están cerca de los puntos finales.
Intenté usar taylor $\ln(1+x)$ pero no consigo nada. Agradecería cualquier ayuda.
