Función continua y un mínimo relacionado

Question

Sea $f : [a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ sea continua con $f(a) = 0$ y suponer que existe algún $x' \in ( a, b)$ tal que $f(x') > 0$ . Denotemos por $$x_0 := \inf \{ x \in [ a, b) : f ( x ) > 0 \}.$$

Demuestra que

$1.$ $f(x_0) = 0$

$2.$ Existe una secuencia $x_n \downarrow x_0$ tal que $f ( x_n ) > 0$ .

Es fácil ver que $a \leq x_0 \leq x'$ y si $x_0 = a$ entonces la primera alegación es obvia. Si $x_0 \neq a$ entonces por la definición de infimo, $f \leq 0$ en $[a, x_0)$ y por la continuidad de $f$ obtenemos $f(x_0) \leq 0$ . Ahora bien, si la segunda afirmación es cierta, entonces la continuidad de $f$ también implicaría que $f(x_0) \geq0$ y así $f(x_0)=0$ .

¿Cómo mostrar la segunda reclamación? Si no existe tal secuencia, entonces $f \leq 0$ en $[ x_0, \varepsilon)$ para algunos $\varepsilon > 0$ pero por la definición de mínimo, debería existir algún $\varepsilon_0$ tal que $x_0 \leq \varepsilon_0 < \varepsilon$ con $f(\varepsilon_0) >0$ lo que lleva a una contradicción. ¿Es esto correcto? ¿Existe tal vez un argumento más corto?

Answer 1

Para la primera afirmación, supongamos $x_0 > a$ se obtiene que si $f(x_0) >0$ por la continuidad existe $\epsilon$ s.t. $x_0 - \epsilon > a, f(x_0 - \epsilon) > 0$ contradictorio. La prueba es similar si suponemos $f(x_0) < 0$ . Para la segunda afirmación, se puede demostrar que existe $x_1 \in (x_0, \frac {x_0 + x’} {2})$ s.t. $f(x_1 )> 0$ de lo contrario la inf no será inferior a $\frac {x_0 + x’} {2}$ . Repita el procedimiento y obtendremos la secuencia de la reivindicación 2.