Subgrupo abeliano de los cuaterniones unitarios

Question

Sea $\Bbb S^0(\Bbb H)\cong \mathrm{SU}(2)$ denotan el grupo multiplicador de la unidad cuaterniones . Este grupo no es abeliano.

Por supuesto, los subgrupos generados por as $\def\<{\langle}\def\>{\rangle}\<1,i\>$ , $\<1,j\>$ y $\<1,k\>$ son conmutativas y también isomorfas a $\Bbb S^0(\Bbb C)\cong\mathrm U(1)$ (el grupo multiplicativo de los números complejos unitarios). Y probablemente hay otros subgrupos conjugados a los nombrados anteriormente. Y, por supuesto, cualquier subgrupo de tales conjugados es también abeliano.

Pregunta: ¿Existen otros subgrupos abelianos de $\Bbb S^0(\Bbb H)$ ?

Answer 1

La respuesta de Slup nos dice que todos los subgrupos abelianos están contenidos en subgrupos abelianos maximales que a su vez son productos de $n$ círculos. El número $n$ es el rango del grupo, por lo tanto también el número de nodos en el diagrama de dynkin que es $1$ para $SU(2)$ (o más generalmente $n = N-1$ para $SU(N)$ ). Queda por ver por qué tenemos $n= 1$ en este caso. Escribiré un texto muy "cuaterniónico" (en contraposición a $SU(N)$ -ic) responder a esto. (La respuesta también señalará en qué grupo circular se encuentra el grupo abeliano dado y por qué).

Sea $u$ sea un cuaternión unitario completamente imaginario, es decir $u \in \mathbb{R}i \oplus \mathbb{R}j \oplus \mathbb{R}k$ . El subespacio $\mathbb{C}_u := \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}u$ es una subálgebra de $\mathbb{H}$ isomorfo de $\mathbb{C}$ mediante el isomorfismo $u \mapsto i$ . Incluso tenemos que existe un mapa exponencial $\exp: \mathbb{R}u \to \mathbb{C}_u$ que mapea el eje imaginario en $\mathbb{C}_u$ al círculo unitario en $\mathbb{C}_u$ de la forma habitual: $\exp$ está definida por la misma serie de Taylor de siempre y la convergencia funciona igual que siempre ya que $\mathbb{H}$ es, desde una perspectiva topológica, simplemente $\mathbb{R}^4$ .

Ahora este círculo unitario en $\mathbb{C}_u$ que denotaré $S^1_u$ es uno de los subgrupos abelianos máximos de los que hablábamos. Concretamente afirmo:

Reclamación: deje $A$ sea cualquier subgrupo abeliano de $\mathbb{S}(\mathbb{H})$ que contiene un elemento $\alpha 1 + \beta u$ para algunos $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ entonces $A \subset S^1_u$ .

La prueba es muy sencilla: elija arbitrariamente $x$ no en $S^1_u$ y demostrar que no conmuta con $\alpha 1 + \beta u$ .

Para simplificar esto: como estamos tratando con cuaterniones unitarios $x \not\in S^1_u$ es lo mismo que decir $x \not\in \mathbb{C}_u$ . Sabemos que $x$ es de la forma $\gamma 1 + \delta u + \epsilon v$ con $\gamma, \delta, \epsilon$ en $\mathbb{R}$ y $v$ un cuaternión unitario que es puramente imaginario Y no está en $S^1_u$ . Para demostrar que $\alpha 1 + \beta u$ no conmuta con $x$ basta con demostrar que $u$ no conmuta con $v$ ya que todo lo que hay dentro $\mathbb{C}_u$ hace entre sí.

Ahora sólo tenemos que recordar que para cuaterniones puramente imaginarios $u$ y $v$ tenemos que $\Re(uv) = \Re(vu), \Im(uv) = - \Im(vu)$ y que $\Im(uv) = 0$ sólo si $u$ y $v$ son múltiplos escalares reales entre sí. (Aquí utilizo la notación $\Re(a + bi + cj + dk) = a$ y $\Im(a + bi + cj + dk) = bi + cj + dk$ para la parte real e imaginaria de un cuaternión respectivamente).

Estos hechos son tan útiles en cualquier cálculo con cuaterniones que espero que los hayas visto antes.

Answer 2

A continuación se responde sólo parcialmente a la pregunta.

Hay algunos hechos generales de la teoría de grupos de Lie que pueden aplicarse aquí. Sea $G$ sea un grupo Lie compacto y conexo. Un toro maximal de $G$ es un subgrupo conexo abeliano máximo de $G$ .

Teorema. Sea $G$ sea un grupo Lie compacto y conexo y $T$ sea un toro maximal de $G$ . Entonces $$G= \bigcup_{g\in G}gTg^{-1}$$

Ahora bien $G$ es un grupo Lie compacto y conexo, entonces un toro maximal $T$ es isomorfo a $(S^1)^{\times n} = \underbrace{S^1\times ...\times S^1}_{n\,times}$ . Obsérvese que existe un generador topológico de $(S^1)^{\times n}$ es decir, existe $t\in (S^1)^{\times n}$ tal que $\{t^n\,|\,n\in \mathbb{Z}\}$ es denso en $(S^1)^{\times n}$ .

Demostramos ahora lo siguiente.

Es un hecho. Sea $G$ sea un grupo Lie compacto y conexo y $A$ sea un subgrupo abeliano de $G$ contenida en que contiene un toroide máximo $T$ . Entonces $A=T$ .

Prueba. Cierre de un subgrupo abeliano en $G$ es un subgrupo abeliano, por lo que podemos suponer que $A$ está cerrado. Entonces $A$ es compacto y $T\subseteq A$ es la componente conexa de la identidad. Por tanto, $T$ está abierto en $A$ . Esto implica que $A/T$ es un grupo abeliano finito. Siguiente $T$ es un grupo abeliano divisible. Por lo tanto $A = T\times B$ donde $B$ es un grupo finito isomorfo con $A/T$ . Supongamos que existe $b\in B$ de orden $m>0$ . Sea $t$ sea un generador topológico de $T$ . Desde $T$ es un grupo divisible, existe $t'\in T$ tal que $t'^m = t$ . Entonces $a = (t',b)\in A$ es un generador topológico de $\langle T,b\rangle$ . Por Teorema existe un toro maximal $T'$ de $G$ que contiene $a$ . Entonces $\langle T,b\rangle\subseteq T'$ . Por lo tanto $T\subsetneq T'$ y esto es contradictorio con la maximalidad de $T$ . Por lo tanto, $B$ es un grupo trivial y $A = T$ .

Tenga en cuenta que $S^3 = \mathbb{S}^0(\mathbb{H})$ es un grupo de Lie compacto y conexo. Todos los toros maximales son conjugados y cubren $S^3$ en virtud de Teorema (también se puede ver como una aplicación de la existencia de la fibración de Hopf como se indica en el comentario de M.Winter). En Dato no existen subgrupos abelianos que contengan estrictamente un toro maximal de $S^3$ . Por otra parte $S^1$ es un toro maximal de $S^3$ . Este es precisamente uno de los ejemplares de $U(1)$ indicado en la pregunta.