Demostrar la existencia de un plano proyectivo finito

Question

Así que tengo este problema:

Exista un 2-diseño con parámetros $(m^2+m+1,m+1,1)$ .

Demostrar que existe un plano proyectivo finito de orden $m$ también.

He descubierto que hay un teorema en mis clases que dice:

Existencia de 2 diseños( $(m^2+m+1,m+1,1)$ ) $\iff $ existencia de un plano proyectivo finito de orden m $\iff$ existencia de un conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden $m$ .

Así que no demostramos este teorema si no recuerdo mal por el tiempo que llevaría.

Pregunta: Entonces, ¿puedo utilizar este teorema o debo encontrar primero una demostración para el teorema?

Así que sé que la equivalencia entre cuadrados latinos y plano proyectivo es el teorema de Bose, pero no tengo la prueba para esa primera equivalencia.

Answer 1

No se puede utilizar este teorema; al menos, si yo impartiera el curso, no lo aceptaría. Esto es típico en los cursos de nivel superior, presentas un resultado importante en clase que no tienes tiempo de demostrar; luego, como ejercicio, asignas a los alumnos que demuestren una versión más débil del resultado para que vean cómo alguien podría llegar a demostrar la versión más completa.

Es probable que tengas que demostrar el resultado tú mismo, y no confiar en un teorema que te lo da. Para tener un plano proyectivo, se necesitan "puntos" y "líneas" que satisfagan determinadas condiciones. Lo que tienes es un diseño, que contiene "variedades" y "bloques" que cumplen sus propias condiciones. Intenta encontrar una manera de interpretar los objetos de tu diseño como puntos/líneas, y demuestra que satisfacen las propiedades del plano proyectivo.