Función algebraicamente decreciente con una integral convergente

Question

Quiero demostrar que la función $w_s(z) = \left(\frac{1}{1+||z||^2}\right)^{s/2}$ donde $z=(z_1,z_2,...,z_{2d})\in \mathbb{R}^{2d}$ et $||z||^2 = \sum_{i=1}^{2d}z_i^2$ tiene una integral convergente $\iint_{\mathbb{R}^{2d}}w_s$ siempre que $s>2d.$ ¿Alguien puede comprobar si mi esquema es correcto?

Podemos escribir $$\iint_{\mathbb{R}^{2d}}w_s =\\ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{1+z_1^2+z_2^2+...+z_{2d-1}^2+z_{2d}^2} \right)^{s/2}dz_1dz_2...dz_{2d-1}dz_d.$$

Así que podemos agrupar cualquier par de $z_i$ et $z_j$ tal que $j\neq i$ y hacer la transformación de coordenadas polares en él. Es decir, podemos dejar que $r^2=z_1^2+z_2^2$ et $dz_1dz_2 = rdrd\theta$ así que tenemos: \begin{align} =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\left[\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\left( \frac{1}{1+z_3^2+z_4^2...+z_{2d-1}+z_{2d}+r^2} \right)^{s/2}rdrd\theta\right]dz_3dz_4...dz_{2d-1}dz_{2d}. \end{align} Evaluación parcial $r$ et $\theta$ integral anterior, encontramos (utilizamos el hecho de que $s>2d$ aquí, para que $\frac{s}{2}-1>0)$ : \begin{align} =\frac{\pi}{(\frac{s}{2}-1)}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{1+z_3^2+z_4^2+...+z_{2d-1}^2+z_{2d}^2} \right)^{s/2}dz_3dz_4...dz_{2d-1}dz_d. \end{align} Podemos repetir este proceso $d-1$ más veces y terminar con $$\frac{\pi^d}{(\frac{s}{2}-1)(\frac{s}{2}-2)...(\frac{s}{2}-d)}< \infty.$$

¿Estoy en lo cierto? ¿Es esto lo suficientemente "riguroso" como para pasar por una prueba?

Answer 1

$$\Psi(s,d)=\iint_{\mathbb{R}^{2d}}w_s =\\ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{1+z_1^2+z_2^2+...+z_{2d-1}^2+z_{2d}^2} \right)^{s/2}dz_1dz_2...dz_{2d-1}dz_d.$$

\begin{align} =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\left[\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\left( \frac{1}{1+z_3^2+z_4^2...+z_{2d-1}+z_{2d}+r^2} \right)^{s/2}r dr d\theta \right ]dz_3dz_4...dz_{2d-1}dz_{2d}. \end{align}

\begin{align} =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\left[\int_{0}^{\infty} -\frac{\pi}{\frac{s}{2}-1}\frac{d}{dr}( \left ( \frac{1}{1+z_3^2+z_4^2...+z_{2d-1}+z_{2d}+r^2} \right)^{s/2-1} )dr \right ]dz_3dz_4...dz_{2d-1}dz_{2d}. \end{align}

\begin{align} = \frac{\pi}{\frac{s}{2}-1}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\int_{0}^{\infty} \left ( \frac{1}{1+z_3^2+z_4^2...+z_{2d-1}+z_{2d}} \right)^{(s-2)/2} dz_3dz_4...dz_{2d-1}dz_{2d}. \end{align}

$= \frac{\pi}{\frac{s}{2}-1} \Psi(s-2, d-1)=....=$

$=\frac{\pi^d}{ \prod_{k=0}^{d}\frac{(s-2k)}{2}-1}$

cuando $\frac{(s-2k)}{2}-1>0$ para cualquier $k\in \{0,...d\}$ por lo que para $s>2(d+1)$