Integración de $x^5 \arcsin x$

Question

Integración de $$\int_0^1 x^5 (\sin^{-1}x) \, dx$$ la respuesta es $\dfrac{11 \pi}{192}$ .

He sustituido $x=\sin^2 u$ y obtuvo $$2\int_0^{\pi/2}( \sin^{12}x)( \cos x) \, dx$$ pero obtuvo la respuesta incorrecta. ¿Por qué no funciona esta sustitución?

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$$\int_0^{\pi/2}( \sin^m x)( \cos^n x)=\frac{(m-1)(m-3)\cdots(1\text{ or } 2)(n-1)(n-3) \cdots (1\text{ or } 2)k}{(m+n)(m+n-2)(m+n-4)\cdots(1\text{ or } 2)}$$ $k=\frac{\pi}{2}$ si $m$ et $n$ son incluso más $1$ .

Answer 1

Creo que estabas en el camino correcto de usar un sub trigonométrico pero yo usaría $x = \sin u$ $$ \int \left(\sin^5 u \right)u \cos u du = \frac{1}{6}\int u \dfrac{d}{du}\sin^6 u du $$ uso por piezas

Answer 2

Podemos utilizar la sustitución $x=\sin(\theta)$ seguido de integración por partes para obtener:

$$\begin{eqnarray*} I = \int_{0}^{\pi/2}\theta\cos(\theta)\sin(\theta)^5\,d\theta &=& \frac{\pi}{12}-\frac{1}{6}\int_{0}^{\pi/2}\sin(\theta)^6\,d\theta\\&=&\frac{\pi}{12}-\frac{1}{6}\int_{0}^{\pi/2}\cos(\theta)^6\,d\theta\tag{1}\end{eqnarray*}$$ Aprovechando la fórmula $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ y el teorema del binomio tenemos: $$ \cos^6(\theta) = \frac{5}{16}+\frac{15}{32}\cos(2\theta)+\frac{3}{16}\cos(4\theta)+\frac{1}{32}\cos(6\theta)\tag{2} $$ por lo tanto: $$ I = \frac{\pi}{12}-\frac{1}{6}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot \frac{5}{16}=\color{red}{\frac{11\pi}{192}}\tag{3}$$ sigue.

Answer 3

$$ x = (\sin u)^2 $$ $$ \sin^{-1} x = \sin^{-1}((\sin u)^2) $$ Si tuvieras $\sin^{-1}(\sin u)$ entonces (suponiendo $-\pi/2\le u\le\pi/2$ ), que se simplificaría a $u$ . Pero eso no es lo que tienes.