En $4(x^3+2x^2+x)^3(3x^2+4x+1) = 4x^3(3x+1)(x+1)^7$ ?

Question

Proporcione pruebas

La respuesta que aparece en la contraportada del libro difiere tanto de mis cálculos como de la calculadora en línea con la que cotejé mi respuesta...

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La pregunta: "Diferenciar con respecto a $x$ :" $ (x^3+2x^2+x)^4 $

Mi respuesta: $4(x^3+2x^2+x)^3(3x^2+4x+1)$

La respuesta del libro: $4x^3(3x+1)(x+1)^7$

Answer 1

Ambos tienen razón.

Tenga en cuenta que $$ x^3+2x^2+x = x (x + 1)^2 $$

$$ 3x^2+4x+1 = (3 x + 1) (x + 1) $$

Por otro lado, podría haber empezado con $$ (x^3+2x^2+x)^4 = x^4 (x + 1)^8 $$ cuya derivada es $$ 4x^3 (x + 1)^8 + 8x^4 (x + 1)^7 = 4x^3 (x+1 +2x) (x + 1)^7 = 4x^3 (3x+1) (x + 1)^7 $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $(x^3+2x^2+x)=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2$ .

También, $3x^2+4x+1=(x+1)(3x+1)$

Aplica esas factorizaciones a tu respuesta y junta los factores iguales; deberías obtener la respuesta del libro.

Answer 3

Desde $(\forall x\in\mathbb{R}):4(x^3+2x^2+x)^3(3x^2+4x+1)=4x^3(3x+1)(x+1)^7$ ambas respuestas son correctas. Pero tu respuesta es más natural.

Answer 4

$4(x^3+2x^2+x)^3 . (3x^2+4x+1)$

$4x^3 (x^2+2x+1)^3 (3x^2+4x+1)$

$4x^3 (x+1)^6 (3x^2+4x+1)$

$4x^3 (x+1)^6 (3x+1)(x+1)$

$4x^3 (x+1)^7 (3x+1)$

Así que el libro resuelto su resultado en más factores.

Answer 5

$ \frac{d}{dx}(x^3+2x^2+x)^4 = 4(x^3+2x^2+x)^3\cdot(\frac{d}{dx}(x^3+2x^2+x))$ por la regla de la cadena, entonces obtenemos: $ \frac{d}{dx}(x^3+2x^2+x)^4 = 4(x^3+2x^2+x)^3\cdot(3x^2+4x+1) = 4x^3(x^2+2x+1)^3\cdot(3x^2+4x+1) $ .

Ahora el resto debería ser simplemente álgebra: (tenga en cuenta que $(x+1)^2=(x^2+2x+1)$ )

$ 4x^3((x+1)^2)^3(3x^2+4x+1) = 4x^3(x+1)^6(3x^2+4x+1) $ ,

entonces demuestre que $ (x+1)(3x+1)= (3x^2 +4x + 1) $ e insertarlo en la ecuación anterior:

$ \frac{d}{dx}(x^3+2x^2+x)^4 = 4x^3(x+1)^7(3x+1) $ y ya está.