Quiero demostrar la unicidad del siguiente vector $v$ . La existencia del vector está garantizada.
Sabemos que existe al menos un vector $v$ para cada $u$ tal que para una función lineal $\varphi$ tenemos que $$\varphi(u) = \langle u,v \rangle.$$
Supongamos que hay dos vectores $v_1$ et $v_2$ tal que esto se cumpla, es decir $$\varphi(u) = \langle u,v_1 \rangle = \langle u,v_2 \rangle.$$
Entonces $$0 = \langle u,v_1 \rangle - \langle u,v_2 \rangle = \langle u , v_1 - v_2 \rangle.$$
Toma $u=v_1-v_2$ lo que implica que $v_1 - v_2 = 0$ o $v_1 = v_2$ . Quiero decir que esta es una prueba correcta pero creo que ambos $v_1$ et $v_2$ dependen de $u$ para que perdamos la libertad de establecer $u=v_1-v_2$ porque esto es circular.
¿La prueba es correcta o hay algún fallo? Además, ¿tiene fácil solución?
Debo admitir que ésta no es mi prueba, sino una de la que soy escéptico en Axler's Linear Algebra Done Right (P 118, 2nd Ed). Sin darle a Axler el beneficio de la duda, ¿cómo encuentras mi prueba?
