La adición de pequeñas término de corrección a la educación a distancia solución

Question

Deje $\mathbf{r}(t) = [x(t), y(t), z(t)]$$\mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)$. Estoy tratando de resolver $$ \frac{d}{dt}\mathbf{v}=\frac{q}{m}(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) \etiqueta{1} $$ donde $q$ $m$ son reales constantes y $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ es un vector arbitrario de campo. En realidad, $\mathbf{B}$ es un campo magnético y $(1)$ es la ecuación del movimiento de una partícula en un campo, pero que no es de vital importancia para los fines de mi pregunta.

Si $\mathbf{B}$ es una constante,$\mathbf{B}_{0}$, entonces podemos encontrar la solución exacta de $(1)$ con condiciones iniciales $\mathbf{r}_{\circ}$$\mathbf{v}_{\circ}$; llamar a estas soluciones de $\mathbf{r}_{0}$$\mathbf{v}_{0}$. Sin embargo, $\mathbf{B}$ generalmente no es una constante, es usally un desastre total, y $\mathbf{r}_{0}$ $\mathbf{v}_{0}$ son pobres aproximaciones. Con el fin de hacer de las soluciones un poco mejor, se podría considerar la posibilidad de ampliar $\mathbf{B}$ $\mathbf{r}_{\circ}$ a primer orden en $x, y$$z$, introducir el término $\mathbf{B}_{1}$, y, a continuación, tratar de solucionar $(1)$. Incluso esto es generalmente poco práctico, así que realmente sólo quiere el menor plazo de la solución. En resumen, mi idea es sub $\mathbf{B} = \mathbf{B}_{0} + \mathbf{B}_{1}$ $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{v}_{1}$ a $(1)$, utilice el hecho de que $\mathbf{v}_{0}$ es conocido, y descartar tanto como sea posible para encontrar a un muy bajo-orden de corrección de $\mathbf{v}_{1}$. El problema es que no estoy totalmente seguro de cómo conseguir realmente que el término de corrección, es decir,. lo que me permite tirar. Los detalles están por debajo; lo agradecería muchísimo si alguien pudiera leer esto y decirme si lo que hice es válido y a donde debo ir.

Derivación

Considere una partícula de masa $m$ y carga en $q$ arbitrario campo magnético $\mathbf{B}$ en la posición $\mathbf{r}_{\circ}(t_{\circ})=[x_{\circ}, y_{\circ}, z_{\circ}]$ con una velocidad de $\mathbf{v}_{\circ}(t_{\circ})=[v_{x{\circ}}, v_{y{\circ}}, v_{z{\circ}}]$. Para$\mathbf{r}(t) = [x(t), y(t), z(t)]$$\mathbf{v}(t) = \dot{\mathbf{r}}(t)$, la trayectoria de la partícula satisface $(1)$. Podemos Taylor ampliar el campo magnético alrededor de $\mathbf{r}_{\circ}$ como sigue: \begin{equation} \mathbf{B}(\mathbf{r})\approx \mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ}) + (\mathbf{r}- \mathbf{r}_{\circ})\cdot\nabla \mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ}) \tag{2} \end{equation} Donde $\mathbf{r}\cdot\nabla\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ}) = (x\partial_{x} + y\partial_{y} + z\partial_{z})\mathbf{B}(\mathbf{r})|_{\mathbf{r}=\mathbf{r}_{\circ}}$. Definir $\mathbf{B}_{0}=\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ})$ a lo largo de con $\mathbf{B}_{1} = \mathbf{B}_{10} + \mathbf{B}_{11}= -\mathbf{r}_{\circ}\cdot\nabla \mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ}) + \mathbf{r}\cdot\nabla \mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ})$. Separar más el $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}+\mathbf{r}_{1}$ $\mathbf{v}= \mathbf{v}_{0} + \mathbf{v}_{1}$ donde $\mathbf{v}_{0}$ satisface $(1)$ campo $\mathbf{B}_{0}$, la solución explícita de lo que se conoce como el campo es simplemente un vector constante. Por subbing $\mathbf{v}$ $\mathbf{B}$ a $(1)$ y la cancelación de la conocida solución, tenemos \begin{equation} \frac{d}{dt} \mathbf{v}_{1} = \frac{q}{m}(\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B}_{1}) + \frac{q}{m}\left(\mathbf{v}_{1}\times(\mathbf{B}_{0}+\mathbf{B}_{1})\right) \tag{3} \end{equation} A continuación, tenga en cuenta que debemos tener $\mathbf{r}_{1}(0)=\mathbf{v}_{1}(0) = \mathbf{0}$ desde $\mathbf{r}_{0}(0) = \mathbf{r}_{\circ}$$\mathbf{v}_{0}(0) = \mathbf{v}_{\circ}$, es decir. las condiciones iniciales son ya tomado cuidado de. Por lo tanto, el orden más bajo de la corrección en el tiempo debe ser, por $\mathbf{y}=[\alpha, \beta, \gamma]$, $\mathbf{r}_{1}=\mathbf{y}t^2 \implies \mathbf{v}_{1}=2\mathbf{y}t\implies \frac{d}{dt}\mathbf{v}_{1}=2\mathbf{y}$; por subbing estas en $(3)$, podemos resolver para $\mathbf{y}$. El primer orden solución descarta todos los términos con $t^2$ dependencia, y por lo tanto debemos establecer la $\mathbf{r}_{1}\approx \mathbf{0}$. También, la aplicación de esta idea a$\mathbf{B}$,$\mathbf{B}_{11}=\mathbf{r}\cdot\nabla\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ}) = (\mathbf{r}_{0} + \mathbf{r}_{1})\cdot\nabla\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ}) \approx \mathbf{r}_{0} \cdot\nabla\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ})\approx (\mathbf{r}_{\circ}+\mathbf{v}_{\circ}t) \cdot\nabla\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ})$, por lo que el $\mathbf{B}_{1} \approx t\mathbf{v}_{\circ}\cdot\nabla\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ})$.

Aquí está el problema. Si ahora nos sub todo en $(3)$,$\mathbf{B}_{1}\propto t$$\mathbf{v}_{1}\propto t$, de modo que el lado izquierdo es una constante y el paseo lado es $\propto t$ después de descartar cuadrática términos. ¿Cómo se puede conseguir una condición en $\mathbf{y}$ a partir de que?

Editar:

Podría ser una solución sencilla. Parece como si me postular una solución de la forma $r_{1}=\mathbf{y}t^3$ en lugar de $r_{1}=\mathbf{y}t^2$, entonces esto puede funcionar. En este caso, el término en $(3)$ $\mathbf{v}_{1}$ todavía está descartado, pero ahora tenemos que el lado izquierdo es $6\mathbf{y} t$. Escrito $\mathbf{v}_{0}\approx\mathbf{v}_{\circ}$, tenemos un término lineal en el lado derecho que puede ser compatible con este, dando $$ \mathbf{y}= \frac{q}{6m}\mathbf{v}_{\circ}\times(\mathbf{v}_{\circ}\cdot\nabla)\mathbf{B}(\mathbf{r}_{\circ}) $$ Yo todavía me gustaría que alguien lo confirme esta lógica, aunque.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial que debe ayudarle un poco. Su imperturbable ecuación es

$$ \dot{\mathbf{v}}_0 = \frac{q}{m}\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_0\etiqueta{1} $$

Al $\mathbf{B}_0=(B_{0x},B_{0y},B_{0z})^T$ no es una función de espacio, esto se reduce a

$$ \dot{\mathbf{v}}_0= \frac{q}{m} \left( \begin{array}{ccc} 0 & B_{0z} & -B_{0y} \\ -B_{0z} & 0 & B_{0x} \\ B_{0y} & -B_{0x} & 0 \\ \end{array} \right) \mathbf{v}_0 $$

Que puede ser resuelto por la matriz exponenciales, $\mathbf{v}_0(t)=\exp \left(\frac{q}{m}\underline{\mathbf{B}}t\right)\mathbf{v}_0(0)$, where $\underline{\mathbf{B}}$ es la matriz anterior. Usted obtener velocidad órbitas que son periódicas en un plano, que corresponde periódico el movimiento en dos direcciones superpuestas en una constante de velocidad de movimiento en la dirección perpendicular. Este es un simple helicoidal de movimiento.

Ahora la perturbación es dejar a $\mathbf{v}_0\rightarrow \mathbf{v}_0+\mathbf{v}_1$$\mathbf{B}_0\rightarrow \mathbf{B}_0+\mathbf{B}_1$. La inserción en $(1)$ llego: $$ \dot{\mathbf{v}}_0 + \dot{\mathbf{v}}_1= \frac{q}{m}\left( \mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_0+ \mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_1+ \mathbf{v}_1\times\mathbf{B}_0+ \mathbf{v}_1\times\mathbf{B}_1 \right) $$ Se puede descuidar el producto de los dos términos de perturbación de la ($\mathbf{v}_1\times\mathbf{B}_1$), ya que esto sería un "segundo orden" tipo de término. Suele llevar alrededor de un pequeño parámetro $\varepsilon$ en este tipo de cálculos, en cuyo caso dicho plazo se $O(\varepsilon^2)$ y neglectable y, a continuación, el $\varepsilon$ cancela todas partes, de todos modos. Descuidar ese término y cancelación de la solución que satisface a $(1)$, me sale

$$ \dot{\mathbf{v}}_1= \frac{q}{m}\left( \mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_1+ \mathbf{v}_1\times\mathbf{B}_0 \right) $$

Ahora se trata de aplicar sus ideas a esta ecuación. A mí me parece que esto es simplemente un forzado versión de $(1)$ (con el conocido $\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_1$ jugando el papel de la obligando a) y podría ser resuelto exactamente en términos de una integral de convolución. La corrección no sería una simple y de bajo orden de la función de $t$, pero algunos bastante complicado función de la matriz de las exponenciales. Sin embargo, usted probablemente podría salir el primer pedido efecto de los gradientes de campo el uso de esta técnica.

Editar

Así que tras pensar en ello, veo por qué ir con un bajo orden temporal de aproximación, de modo que usted puede de marzo en corto tiempo. Esto es técnicamente otro tipo de aproximación asintótica, diferente de la perturbación método descrito anteriormente. Pero, si usted está interesado en las soluciones numéricas, debo decir que un estándar ODE solver sería una mejor opción. MATLAB la ODA de rutinas puede manejar este sistema directamente.