El problema
Me parece un problema muy natural que ya debería haberse planteado (¿y resuelto?).
Para cada número entero positivo k, hallar a bonito expresión para la siguiente función generatriz en la variable x: $$ \sum_{\lambda/\mu} x^{|\lambda|}. $$
Aquí \lambda abarca todas las particiones y \mu sobre las particiones contenidas en \lambda para el que el diagrama de Young oblicuo \lambda / \mu tiene k nodos, es decir, cada partición de n se pondera por el número de particiones de n-k que contiene.
Ejemplos: k=1, la función es $\frac{x}{(1-x)}P(x) $ donde $P(x)=\prod_{i=1}^\infty(1-x^i)^{-1}$ es la función generadora de particiones. Así que en este caso sólo estoy enumerando particiones por el número de nodos extraíbles. La fórmula es equivalente al conocido hecho de que cada partición tiene un nodo más agregable que extraíble.
También he calculado los casos k=2,3,4 (k=4 era doloroso - lo dividí en 14 posibles tipos de diagramas oblicuos). Para k=2 la función generadora es $\frac{ x^2(2-x)}{(1-x)(1-x^2)}P(x).$
Parece plausible que exista un polinomio F_k(x) de grado como máximo k(k-1)/2 (con coeficiente principal \pm 1) de modo que la serie de potencias sea $$ \frac{ x^k F_k(x)}{(1-x)(1-x^2)..(1-x^k)}P(x). $$
Si $F_k(x)$ existe, es fácil ver que debe tener más bajo términos $p_k+p_{k+1}x+2(p_{k+2}-1)x^2+...$ donde p_n=número de particiones de n, después de lo cual los términos dependen de congruencias para k. Esto sugiere que es complicado. Tal vez no haya una buena expresión para $F_k(x)$ . Incluso sabiendo si $F_k(x)$ existe me interesa. ¿Quizás haya una forma más ordenada de expresar toda la función generadora?
Motivación
El coeficiente de $x^n$ en la función generatriz es la dimensión del centro de una determinada subálgebra del álgebra del grupo complejo del grupo simétrico de grado n. Esto es ${\mathbb C}S_n^{S_{n-k}}$ El centralizador del subgrupo $S_{n-k}$ en ${\mathbb C}S_n$ . Es fácil ver que esto tiene como ${\mathbb C}$ -base la $S_{n-k}$ -sumas en órbita en $S_n$ . El centro está indexado por pares $(\chi,\phi)$ donde $\chi$ es un carácter irreducible de $S_n$ y $\phi$ es un carácter irreducible de $S_{n-k}$ que se produce en la restricción de $\chi$ . La formulación anterior es entonces una consecuencia fácil de la parametrización de caracteres irreducibles de $S_n$ y el clásico regla de bifurcación .
Literatura
Yoshiaki Ueno, On the Generating Functions of the Young Lattice, J. Algebra 116 (1988) 261--270.
Esto da un polinomio generador para las particiones contenidas en una partición dada \lambda en términos de un determinante con coeficientes gaussianos. Es un resultado hermoso, pero no me dio ninguna idea de mi problema.
