La hipótesis del continuo y las uniones contables

Question

Recientemente he editado una respuesta mía en math.SE en la que se discutía la implicación de las dos afirmaciones:

• $AH(0)$ que es $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ y
• $CH$ que dice que si $A\subseteq 2^{\omega}$ et $\aleph_0<|A|$ entonces $|A|=2^{\aleph_0}$ .

Sabemos que efectivamente son equivalentes bajo el axioma de elección (y en realidad mucho menos). También es trivial ver que $AH(0)\Rightarrow CH$ . Sin embargo lo contrario no es cierto, de hecho en el modelo de Solovay (o en modelos de AD) no hay $\aleph_1$ muchos reales, pero $CH$ se cumple ya que todo conjunto incontable de reales tiene un subconjunto perfecto.

Mientras revisaba mi respuesta intenté encontrar una referencia sobre si en el modelo Feferman-Levy, en el que el continuo es una unión contable de conjuntos contables, se satisface o no la hipótesis del continuo (ya sabemos que no se satisface $AH(0)$ ).

Para mi sorpresa, la respuesta es negativa. Existe un conjunto cuya cardinalidad está estrictamente entre el continuo y $\omega$ La construcción se describe en el artículo de A. Miller [1] en el que señala que en el Feferman-Levy el conjunto construido no se puede poner en biyección con el continuo.

Me preguntaba si esto es siempre cierto en modelos en los que el continuo es una unión contable de conjuntos contables, o es sólo una de las peculiaridades del modelo Feferman-Levy.

Preguntas:

1. Sea $V$ sea un modelo de $ZF$ en el que $2^{\omega}$ puede escribirse como la unión contable de conjuntos contables. ¿Tiene $CH$ fallar en $V$ ?

2. Supongamos que $V$ es un modelo de $\omega_1\nleq2^\omega$ et $CH$ ¿implica esto que $\omega_1$ es regular (lo que significa inaccesible en $L$ )?

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Bibliografía:

1. Miller, A. Un conjunto Dedekind finito de Borel. Arch. Math. Lógica 50 (2011), nº 1-2, 1--17.

Answer 1

La respuesta a la segunda pregunta es no. Truss demostró en [1] que si repetimos la construcción de Solovay a partir de un cardinal límite $\kappa$ obtenemos un modelo en el que se cumplen las siguientes propiedades:

1. Las uniones contables de conjuntos contables de números reales son contables;
2. Todo conjunto bien ordenable de números reales es contable;
3. Todo conjunto incontable de reales tiene un subconjunto perfecto;
4. DC se cumple si $\omega_1$ es regular si $\kappa$ es inaccesible en el modelo de suelo;
5. Todo conjunto de números reales es Borel.

Esto demuestra que es posible tener $CH+\aleph_1\nleq2^{\aleph_0}+\operatorname{cf}(\omega_1)=\omega$ . Sin embargo, no responde a la pregunta original (la primera).

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Bibliografía:

1. Truss, John, Modelos de teoría de conjuntos que contienen muchos conjuntos perfectos . Ann. Math. Logic 7 (1974), 197-219.