Demostrar positivo, semidefinido

Question

Sea $A \in M_2(\mathbb C)$ y que $A^*$ denotan la transposición conjugada de $A$ . Necesito demostrar que $A^{*}A$ es semidefinida positiva.

Así que tengo que mostrar $$\quad\quad \langle A^{*}\!A\,h,\;h\rangle \geq 0,\mbox{ for all }h \in M_2(\mathbb C)$$ .

No se como enfocar esto, se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que quieres $h \in \Bbb C^2$ no $h \in M_2(\Bbb C)$ .

Dicho esto:

Para ver que $A^*A$ es semidefinida positiva, basta con observar que $\langle h, A^*Ah \rangle = \langle Ah, Ah \rangle$ es real, ya que para cualquier $z$ , $\langle z, z \rangle = \langle z, z \rangle^*$ . También, $\langle Ah, Ah \rangle \ge 0$ ya que siempre tenemos $\langle z, z \rangle \ge 0$ . Esto demuestra $A^*A$ es semidefinida positiva. QED

Nota Bene: No es necesario directamente muestran, como sugiere el comentario de Luis Valerin, que $A^*A$ es hermitiana, pero eso es fácil en cualquier caso: $(A^*A)^* = A^*A^{**} = A^*A$ . Fin de la nota.

Espero que esto ayude. Hasta luego,

y como siempre,

Fiat Lux

Answer 2

Para demostrar que $A*A$ es definitivamente positivo necesitas probar dos cosas. Primero, que es autoadjunto, es decir $(A*A)=(A*A)*$ . Y segundo, tienes que demostrar que $A*A$ es positivo. Para esta parte existen muchas formas de acercarse. La más sencilla es demostrar que los menores de esta matriz son positivos. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Minor_(álgebra_lineal) .

La primera parte se deduce fácilmente porque, $(A*A)*=(A*)((A*)*)=A*A$ . Para la segunda parte, considere $$A=\left(\begin{array}{rcl} a & b\\ c & d \end{array} \right)$$ entonces $$A*=\left(\begin{array}{rcl} \overline{a} & \overline{c}\\ \overline{b} & \overline{d} \end{array} \right) $$ así que $$A*A=\left(\begin{array}{rcl} \overline{a} & \overline{c}\\ \overline{b} & \overline{d} \end{array} \right) \left(\begin{array}{rcl} a & b\\ c & d \end{array} \right)=\left(\begin{array}{rcl} \overline{a}a+\overline{c}c & \overline{a}b+\overline{c}d\\ \overline{b}a+\overline{d}c & \overline{d}d+\overline{b}b \end{array} \right) $$ $$\left(\begin{array}{rcl} a^2+c^2 & \overline{a}b+\overline{c}d\\ \overline{b}a+\overline{d}c & d^2+b^2 \end{array} \right) $$ claramente el determinante de orden 1 es $a^2+c^2\geq 0$ y el segundo orden también es positivo.