Versión resumida de la pregunta
¿Cuál es la ecuación que describe la forma de una viga con gran desplazamiento conociendo los puntos inicial y final y las tangentes?
Mis consideraciones:
La teoría de la viga de Eulero-Bernulli dice que la ecuación de una viga deformada debe satisfacer la ecuación diferencial: $$ \frac{d^2}{dx^2} \left( EI \frac{d^2w}{dx^2}\right) = q(x)$$ donde $EI$ es la rigidez a flexión de la viga, $w$ es el desplazamiento vertical y $q(x)$ es la carga distribuida. Para el caso $q(x) = 0$ y $\frac{dEI}{dx}=0$ la solución es un polinomio de tercer orden.
Si consideramos el caso de una viga con grandes desplazamientos, esto ya no es cierto. Imaginemos una fina lámina metálica, doblada para formar un bucle casi cerrado. En este caso, la deformación se aproxima a un círculo. Esto, claramente, no es un polinomio. Lo mismo ocurre si consideramos una viga e imponemos una $\pi/2$ rotación en un extremo, ya que ningún polinomio tendrá nunca un punto de tangencia vertical.
Creo que la solución debería ser la curva que minimiza la energía de deformación elástica, es decir : $$ \mathrm{argmin}_{f(s)} \frac{1}{2} \int_0^L EI \kappa(s) ds = \mathrm{argmin}_{f(s)} \int_0^L \kappa(s)ds$$ donde $\kappa(s)$ es la curvatura de la curva paramétrica $f(s)$ en $s$ .
Sospecho que esto está relacionado de alguna manera con las splines (considerando también que las splines nacieron para describir la forma de vigas deformadas enlace ). Sin embargo, las splines son polinomios a trozos, por lo que no entiendo cómo podrían describir algo que (véase más arriba) no es un polinomio.
