¿Qué nos dice la diferencial sobre el máximo de una función?

Question

Si conozco una función f(x) sé que podemos obtener los puntos críticos con la prueba de la primera derivada; además, podemos identificar si estos puntos corresponden a un máximo o a un mínimo con la prueba de la segunda derivada.

¿Qué pasa cuando quiero obtener el máximo de una función que no conozco pero tengo la primera diferencial df de la misma?

Tengo la intuición de que puedo obtener el punto crítico simplemente igualando df = 0, y el máximo o mínimo comprobando el signo de la segunda diferencial de f.

¿Es esto cierto? y en caso afirmativo, ¿por qué?

Muchas gracias.

Answer 1

Encontrar el máximo global de una función es un viejo problema matemático. Aunque es relativamente fácil hallar el máximo o mínimo local de una función (como has mencionado, hallar dónde $df=0$ ), es necesario comprobar cada punto crítico para determinar si se trata de un máximo o un mínimo global subincorporando el punto crítico a la función original.

También su declaración

Tengo la intuición de que puedo obtener el punto crítico simplemente igualando df = 0, y el máximo o mínimo comprobando el signo de la segunda diferencial de f.

Es correcto si $df$ es el derivado total . Nótese que la mayoría de la gente preferiría comprobar que todas las derivadas parciales de una función $f$ igual a cero en el mismo punto como su criterio para determinar los puntos críticos de una función.

Tenga en cuenta que hay formas de encontrar el máximo de una función en un dominio finito dadas sólo sus derivadas y alguna información adicional menor, pero son bastante avanzadas y probablemente están fuera del alcance de su pregunta.