Problema de la línea recta: Punto $A (2,1)$ se traslada paralelamente a la línea $x -y =3$ a una distancia de $4$ unidades de nueva posición...

Question

Problema de la línea recta :

Punto $A(2,1)$ se traslada paralelamente a la línea $x -y=3$ a una distancia de $4$ unidades de nueva posición $A'$ que está en el tercer cuadrante, hallar las coordenadas de $A'$ .

Mi enfoque :

La pendiente de otra línea es la misma que la de $x -y =3$ por lo tanto la pendiente de la nueva línea es también $1$ . Y ángulo $\theta = 45^{\circ}$ .

Conoce también la distancia entre una línea $(ax +by+c=0)$ y un punto $(x_1,y_1)$ (distancia perpendicular) puede venir dada por $$\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Pero incapaz de entender el problema debido a la palabra traducida pero conocer la definición de este: "En una traslación todos los puntos del objeto se mueven en línea recta en la misma dirección. El tamaño, la forma y la orientación de la imagen son los mismos que los del objeto original. La misma orientación significa que el objeto y la imagen están orientados en la misma dirección".

¿Podría alguien por favor ayudar en esto ... Se lo agradeceré gracias....

Answer 1

Sea $A (x, y)$ sea su punto inicial y $A'(x', y')$ sea su punto final.
Conoces la recta a lo largo de la cual se ha desplazado tu punto (ya que conoces la pendiente y un punto sobre ella): $$ y = x-1$$

Usted también saber que se ha movido una distancia de 4 unidades. Para problemas de este tipo, asuma la distancia que se ha movido como $r$ .

Utilizando trigonometría simple, la distancia a lo largo de la eje x que tu punto se ha movido es $r\cos\theta$ (donde $\theta$ es el ángulo que forma la recta con el eje x).
Del mismo modo, la distancia recorrida a lo largo del eje y es $r\sin\theta$ .

Así que ahora tienes dos ecuaciones:

$$x' + r\cos\theta = x$$ $$y' + r\sin\theta = y$$

Sustituye tus valores y tendrás la respuesta.

Este es un método conveniente para encontrar el punto final cuando un cierto punto se mueve paralelo a una línea.

Answer 2

Pista: Intenta obtener una ecuación para tu segunda línea $l_2$ (es decir, paralela a $l_1:x-y=3$ y contiene $A(2,1)$ ). Entonces úsalo: $A' \in l_2$ , $AA'=4$ y $A'$ está en el tercer cuadrante.