Una ecuación diferencial parcial de difusión, o EDO de valores propios de Sturm-Liouville

Question

¿Cuál es la solución analítica para la siguiente ecuación diferencial parcial de difusión (problema de valor inicial)? $$\frac{\partial f}{\partial t} = (ax^2+b)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},$$ donde $a$ y $b$ son constantes numéricas reales.

Podemos separar las variables o tomar la transformada de Fourier $\tilde f(x)$ de $f$ en el dominio del tiempo $t$ y convertir lo anterior en un problema de valores propios de ecuación diferencial ordinaria en $x$ : $$k\tilde f= (ax^2+b)\frac{d\tilde f}{d x}+\frac{d^2 \tilde f}{d x^2}.$$ donde $k$ puede verse como un valor propio para el operador diferencial del lado izquierdo. Ahora podemos transformar esto en Forma de Sturm-Liouville .

Sin embargo, no puedo reconocer inmediatamente una transformación que pueda convertir lo anterior en una forma conocida que admita una solución analítica. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Usando Maple obtenemos que la solución es: $$f(x,t)=F1(x)\cdot F2(t)$$ donde $F1$ y $F2$ son funciones tales que $$F1_{xx}=c_1\cdot F1-(a\cdot x^2-b)F1_x \quad\text{ and } $$$$ F2_t=c_1\cdot F2, $$ where $ c_1 $ is an arbitrary constant. The ODE for $ F1 $ has an "explicit" solution in terms of the Heun Triconfluent function (very ugly! Maple is not making some simplifications because it is assuming a and b are complex numbers) and the second ODE is just $ F2(t)= c_2 \exp(c1\cdot t)$.

$F1(x) = c_3\cdot HeunT\left(-3^{2/3}\cdot a^2\cdot c_1/(a^2)^{4/3}, -3\cdot \sqrt{a^2}/a, a\cdot b\cdot 3^{1/3}/(a^2)^{2/3}, (1/3)\cdot 3^{2/3}\cdot (a^2)^{1/6}\cdot x\right)\cdot \exp\left(-(1/6)\cdot x\cdot (a\cdot x^2+3\cdot b)\cdot ((a^2)^{1/6}\cdot a+(a^2)^{2/3})/(a^2)^{2/3}\right)+c_4\cdot HeunT\left(-3^{2/3}\cdot a^2\cdot c_1/(a^2)^{4/3}, 3\cdot \sqrt{a^2}/a, a\cdot b\cdot 3^{1/3}/(a^2)^{2/3}, -(1/3)\cdot 3^{2/3}\cdot (a^2)^{1/6}\cdot x\right)\cdot \exp\left((1/6)\cdot x\cdot (a\cdot x^2+3\cdot b)\cdot ((a^2)^{1/6}\cdot a-(a^2)^{2/3})/(a^2)^{2/3}\right)$