Pregunta sobre ideales máximos en un anillo artiniano conmutativo

Question

Actualmente estoy repasando la sección de Dummit y Foote relativa a la estructura de los anillos artinianos conmutativos con unidad. Ya ha demostrado que existe finitamente muchos ideales maximales distintos $M_1,\ldots,M_n$ . A continuación, define $Jac(R)=M_1 \cap M_2 \cap \cdots \cap M_n$ y se da la siguiente afirmación:

$$ \prod_{i=1}^n M_i^m \subseteq \left( \prod_{i=1}^n M_i \right)^m \subseteq Jac(R)^m$$

Mi pregunta es, ¿por qué el libro dice " $\subseteq$ "y no "="? ¿No son todos estos ideales iguales? La primera igualdad se sigue del hecho de que la multiplicación de ideales es conmutativa, y la segunda se sigue del hecho de que dos ideales máximos distintos cualesquiera deben ser coprimos, por lo que $M_1M_2\cdots M_n=M_1\cap M_2\cap\cdots\cap M_n$ .

Answer 1

Lo que dices es correcto, pero pasa por alto el papel de esta afirmación en la argumentación que se hace. El objetivo es demostrar que $\prod_{i=1}^n M_i^m=0$ para un determinado valor de $m$ y esto se demuestra observando que $$\prod_{i=1}^n M_i^m \subseteq \left( \prod_{i=1}^n M_i \right)^m \subseteq Jac(R)^m$$ y que $Jac(R)^m=0$ para este valor de $m$ . Las otras direcciones de las inclusiones son verdaderas, pero no son necesarias para la conclusión de que $\prod_{i=1}^n M_i^m=0$ por lo que no se indican. (Aunque, estoy de acuerdo en que es bastante tonto escribir $\subseteq$ para esta primera inclusión, ya que es muy evidente que se trata de una igualdad).