Haces vectoriales sobre curvas

Question

En la página 5 de " Estructuras twistor mixtas ", C. Simpson escribe

Recordemos que un subfondo estricto de un haz vectorial sobre una curva viene determinado por su restricción a cualquier conjunto abierto de Zariski

¿Cómo puede ser esto cierto? En primer lugar, todo haz vectorial $E$ es una subsección estricta de otro haz vectorial, basta con tomar $E \oplus \mathcal O_C$ para $C$ la curva. Por eso me confunde su insistencia en el rigor.

Ahora si tomamos una cubierta abierta trivializante $\{U_i\}$ de la curva $C$ para el haz vectorial $E$ y restringir $E$ a $U_i$ ¿cómo podría esto determinar $E$ ¿únicamente?

Una vez aclarada mi confusión, me gustaría saber si existen resultados relacionados para variedades de dimensiones superiores (proyectivas).

Answer 1

Lo más probable es que lo que Simpson quiere decir es que una sub-hoja estricta de un fijo viene determinado por su restricción a cualquier no vacío Conjunto abierto Zariski. En efecto, si $E$ es el haz vectorial fijo, $j \colon U \to C$ es la incrustación de un conjunto abierto de Zariski no vacío, y $F \subset j^*E$ es una subserie estricta, extienda la incrustación a una secuencia exacta $$ 0 \to F \to j^*E \to G \to 0 $$ y definir $$ \tilde{F} := \operatorname{Ker}(E \to j_*G), $$ donde el morfismo $E \to j_*G$ es el adjunto de $j^*E \to G$ . Entonces $\tilde{F} \subset E$ es la subserie estricta en $E$ determinado por $F \subset j^*E$ .

Answer 2

En general, si tiene una inmersión abierta $j:U\subset X$ y una inmersión cerrada $i:Z\to X$ sich that $X=Z\cup U$ dando entonces una gavilla $F$ en $X$ es lo mismo que dar un triple $F_1,F_2,\phi$ donde $F_1$ es una gavilla sobre $U$ , $F_2$ es una gavilla sobre $Z$ y $\phi$ es un morfismo $\phi:F_2\to i^*j_* F_1$ . Aprendí esto de la página 73 del libro de Milne sobre cohomología etale pero esto debería ser bastante estándar.

Ahora volviendo al problema, en el caso que quieres, tienes un haz vectorial fijo $E$ y un Zariski abierto $U$ porque $C$ es una curva $C-U$ es la unión de algunos puntos por lo que $i^* E$ es un haz trivial.así $F_2$ debe ser un haz trivial con un rango inferior a $E$ . esto demuestra que en general $F\subset E$ no puede determinarse mediante la restricción de $F$ a la $U$ (que llamamos $F_1$ ) porque tiene diferentes opciones para $F_2$ . pero si quieres $F$ sea un subfondo vectorial, entonces el rango de $F_2$ debe ser igual al rango de $F_1$ así que $F_1$ determina $F_2$ y $\phi_F$ se determina mediante $\phi_E$ . En resumen, la afirmación verdadera es ésta:

a Haz subvectorial de un haz vectorial $E$ sobre una curva $C$ está determinada por su restricción a cualquier subconjunto abierto de Zariski.