Integración de $\sqrt{1-x^2}$ por partes. Interpretación del 2º término.

Question

Me preguntaba sobre la antiderivada de $\sqrt{1-x^2}$

Método para resolverlo ici . Esta solución está bien, pero estaba un poco confundido sobre el último término en la primera línea es decir. $$\int \left(\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\int dx\right)dx$$ $$=\int x\cdot\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\cdot\ dx$$ ¿No puede escribirse como $$\int x\cdot\ d\sqrt{1-x^2}$$ es decir, anulando ambos $dx$

Ahora bien, si sustituimos $1-x^2 = t^2$ entonces la integral pasaría a ser $$\int \sqrt{1-t^2}\cdot\ dt$$ Que es integral $I$ sí mismo

Esto implica $$I=\int 1\cdot\sqrt{1-x^2}dx=\int dx \sqrt{1-x^2}-\int \left(\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\int dx\right)dx$$ $$=x \sqrt{1-x^2}-I$$ O $$I=\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+C$$ Sé que algo va mal. Podría estar cancelando $dx$ fue el paso equivocado. Pero el mismo resultado se obtiene por este método alternativo: $$I=\int 1\cdot\sqrt{1-x^2}dx=\int dx \sqrt{1-x^2}-\int \left(\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\int dx\right)dx$$ $$=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$$ Ahora en segundo término de nuevo si ponemos $1-x^2=t^2$ que da $$dx=\frac{t}{-\sqrt{1-t^2}}dt$$ Y así $$I=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{1-t^2}{t}\cdot\frac{t}{-\sqrt{1-t^2}}dt$$ $$=x\sqrt{1-x^2}-\int \sqrt{1-t^2}\cdot\ dt$$ $$=x\sqrt{1-x^2}-I$$ Que de nuevo dan el mismo resultado $$I=\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+C$$ ¿Qué paso estoy haciendo mal? ¿Hay algún error algebraico? Por favor, ayúdame. Gracias de antemano :)

Answer 1

\begin{align} I & = \displaystyle\int \sqrt{1-x^2} \\ & = x\sqrt{1-x^2}+\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\ & = x\sqrt{1-x^2}+\displaystyle \int \dfrac{x^2+1-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ & = x\sqrt{1-x^2}+\arcsin\left(x\right)-I \\ & =\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\dfrac{\arcsin\left(x\right)}{2}+C \end{align}

EDITAR:

en tu primer método estabas cancelando dx lo cual es incorrecto y en tu llamado método alternativo asumiste $\sqrt{1-t^2}=I$ lo cual es incorrecto porque estás trabajando con integral indefinida ici no definitivo

Así que..,

no se puede decir $\displaystyle\int {f(x)} dx=\displaystyle\int {f(t)} dt$ donde $t$ es una transformación de $x$

Pero sí en caso de que fuera integral definida entonces lo anterior será cierto porque el cambio de variable es decir, de $x$ a $t$ también cambiará los límites de una manera que el valor de la integral (área bajo la curva) sigue siendo el mismo y las integrales indefinidas carecen de esos límites.por lo que ambas integrales (integrales antes del cambio de variable y que después) no serían iguales