Órdenes, Órdenes parciales, Órdenes parciales estrictas, Órdenes totales, Órdenes totales estrictas y Órdenes estrictas

Question

Según tengo entendido, pedidos parciales son relaciones binarias que son:

• Reflexivo
• Antisimétrico
• Transitivo

Un ejemplo sería $\subseteq$ para conjuntos

Y si a esto le añadimos la totalidad, obtenemos un orden total (o lineal), por lo que a pedido total es

• Reflexivo (está implícito en la totalidad, por lo que puede eliminarse de la definición)
• Antisimétrico
• Transitivo
• Total

Un ejemplo sería $\leq$ para números

Pero también tenemos órdenes lineales estrictos que son:

• Irreflexivo (implicado por la asimetría)
• Asimétrico (implicado por transitividad + irreflexividad)
• Transitivo
• Connex (para cualquier $a \not = b$ : o $aRb$ o $bRa$ )

Un ejemplo sería $<$ para números

Entonces (primera pregunta), ¿existe igualmente algo llamado orden parcial estricto Eso sería:

• Irreflexivo (implicado por la asimetría)
• Asimétrico (implicado por transitividad + irreflexividad)
• Transitivo

un ejemplo de ello sería $\subset$ ¿para juegos? No encuentro ninguna referencia a este término...

Pero esto también me lleva a mi segunda y principal pregunta. Veo referencias que dicen que "orden" es sólo una abreviatura de "orden parcial" y que, como tal, podría sea una orden total. Pero si un 'orden' tiene que ser un orden parcial, entonces tiene que ser reflexivo, y por lo tanto no puede ser un orden total estricto. ... lo cual es extraño, porque uno pensaría que un orden total estricto seguiría considerándose algún tipo de 'orden' ...

Sé que existe un "preorden" que es reflexivo y transitivo, pero sin que sea antisimétrico o asimétrico, no parece realmente un "orden". De hecho, si es simétrica, sería una relación de equivalencia, que no parece tener ningún "orden". De hecho, como su nombre indica, un "preorden" no parece ser un "orden".

De acuerdo, pero ¿no hay un candidato obvio para definir un "orden" (ya sea parcial o lineal/total) como cualquier relación binaria que sea:

• Antisimétrico
• Transitivo

Curiosamente, si queremos hacer de esto un "orden estricto" cambiando la antisimetría por la asimetría más fuerte:

• Asimétrico (y, por tanto, también antisimétrico)
• Transitivo

obtenemos el "orden parcial estricto" de antes, ya que la asimetría y la transitividad implican irreflexividad. Pero el "orden" más general no es lo mismo que un orden parcial, ya que un "orden" no insistiría en la reflexividad... ni en la irreflexividad... de hecho se limitaría a indicar que existe un "ordenamiento" entre los distintos objetos, es decir, cómo se relaciona un objeto consigo mismo un "orden" general no se preocuparía de ello.

Entonces, ¿hay alguien que haga esto? ¿O lo estamos haciendo implícitamente (pero entonces: qué pasa con las referencias que dicen que 'orden' significa 'orden parcial'?) ¿O hay alguna buena razón para no hacerlo?

Answer 1

La transitividad es la propiedad fundamental de todas las relaciones que denominamos de orden "algo algo". Por supuesto, una relación de equivalencia también es transitiva, y de hecho también es una pedido anticipado .

Así que, tal vez, se pueda partir de las relaciones transitivas, dividirlas según sean reflexivas, irreflexivas o ninguna de las dos cosas. (Obviamente, no hay nada nuevo en esta taxonomía.) En la rama irreflexiva se obtienen exactamente los órdenes parciales estrictos. En la rama reflexiva se obtienen los preórdenes y sus especializaciones, es decir, los órdenes parciales y las relaciones de equivalencia.

En la tercera rama encontramos las relaciones transitivas riff-raff, y no estoy seguro de que nadie las llame órdenes. También hay preórdenes que no son ni órdenes parciales ni relaciones de equivalencia, por supuesto. Así que tal vez se podría adoptar la definición de que una relación de ordenación es una relación binaria que es transitiva y, o bien reflexiva y antisimétrica, o bien irreflexiva.

La única diferencia principal con respecto a la definición que usted considera es que una relación que es transitiva y antisimétrica, pero ni reflexiva ni irreflexiva, no se considera una relación de orden.

La totalidad (linealidad) puede especificarse diciendo que para todo $a$ y $b$ si $a \neq b$ entonces $a R b$ o $b R a$ . Esto funciona tanto para las relaciones reflexivas como para las irreflexivas. (Gracias a @mlc por recordarme este detalle).

Answer 2

A orden parcial estricto es una relación irreflexiva y transitiva (asimétrica es una consecuencia). Ésta es la definición más común.

En realidad, esta noción es completamente equivalente a la noción de pedido parcial (relación reflexiva, antisimétrica y transitiva).

En efecto, si $X$ es un conjunto y $\Delta_X=\{(x,x):x\in X\}$ tenemos que

• si $S$ es un orden parcial estricto en $X$ entonces $S^+=S\cup\Delta_X$ es un orden parcial;

• si $R$ es un orden parcial en $X$ entonces $R^{-}=R\setminus\Delta_X$ es un orden parcial estricto en $X$ ;

• si $S$ es un orden parcial estricto en $X$ entonces $S=(S^+)^-$ ;

• si $R$ es un orden parcial en $X$ entonces $R=(R^-)^+$ .

Puedes intentar demostrar las afirmaciones.

Así que cualquier orden parcial estricto determina un orden parcial único y a la inversa. Pasando de $S$ a $S^+$ es esencialmente lo mismo que hacemos al pasar de $<$ en números a $\le$ .

La propiedad de ser un orden lineal (o total) puede expresarse mediante

para todos $a,b\in X$ si $a\ne b$ entonces $a\mathrel{T}b$ o $b\mathrel{T}a$

donde $T$ es un orden parcial (estricto).

¿Son útiles las órdenes parciales estrictas? Sí. Si se comparan las dos definiciones, se ve que la igualdad no es necesaria en la definición de un orden parcial estricto (aunque no para los lineales), lo que los hace atractivos para ciertos marcos lógicos en los que la igualdad no tiene un estatus particular con respecto a otros predicados.