encontrar los puntos de una curva donde la recta tangente es horizonta

Question

Encontrar los puntos de la curva $x^3 + y^3 = 2xy$ donde la línea tangente a la curva será horizontal

Sé que esto significa que la derivada de la curva será igual a 0. Esto es lo que obtengo: $$\frac{(2Y-3X^2)}{(3Y^2-X)} = 0$$ .. Y luego estoy atascado. Ayuda, por favor.

Answer 1

Así que.., $2Y=3X^2$

Poner el valor de $Y$ en la ecuación dada, $$X^3(27X^3-16)=0\implies X=0,$$ o $X^3=\frac{16}{27}$

Pero.., $X=0\implies Y=0,$ de $2Y=3X^2$

$ \frac{2Y-3X^2}{3Y^2-2X}$ será $\frac00$ por lo tanto indefinido.

Así que.., $X\ne0$

$X^3=\frac{16}{27}\implies \frac{3Y^2}{2X}=\frac{3\left(\frac{3X^2}2\right)^2}{2X}=\frac{27}{8}\cdot X^3$ (como $x\ne0$ )

$\implies \frac{3Y^2}{2X}=\frac{27}{8}\cdot \frac{16}{27}\ne1\implies 3Y^2-X\ne0$

Así que.., $ \frac{2Y-3X^2}{3Y^2-2X}$ será $0$ como $2Y=3X^2$ pero $3Y^2-2X\ne0$

Answer 2

[sólo para volver a esto en relación con una curiosa característica de esta curva]

La curva en cuestión es el "folium de Descartes", llamado así porque Descartes envió esta curva a Fermat como desafío a la pretensión de este último de disponer de un método para determinar las pendientes de las rectas tangentes. Fermat lo resolvió con éxito, algo que resulta un poco más impresionante por el hecho de que lo lograra en 1638, antes del desarrollo más formal del cálculo (infinitesimal) por Newton y Leibniz. Se parece a esto:

He marcado las líneas tangentes horizontales en verde y las verticales en rojo. No voy a reiterar el trabajo ya discutido por laboratorio bhattacharjee pero quería decir algo más sobre el punto que planteé en los comentarios.

Encontramos que la expresión para la primera derivada de las funciones implícitas descritas por la curva es

$$ y \ ' \ = \ \frac{3x^2 \ - \ 2y}{2x \ - \ 3y^2} \ \ . $$

(Hay un error en anteriores apariciones de esta función racional, algunas ya corregidas).

Como ya hemos visto, esto produce tangentes horizontales donde $ \ y \ = \ \frac{3}{2} x^2 \ $ . La complicación surge cuando buscamos tangentes verticales, que se producen donde $ \ y \ ' \ $ es indefinido, es decir $ \ x \ = \ \frac{3}{2} y^2 \ $ . (Esta similitud de las dos ecuaciones se debe a la simetría del folio en torno a la recta $ \ y \ = \ x \ $ . ) Juntando estas dos ecuaciones obtenemos dos soluciones: $ \ ( \ 0,0 \ ) \ $ y $ \ ( \ \frac{2}{3} , \frac{2}{3} \ ) . $ Sin embargo, sólo el primero de ellos corresponde a un punto de la curva (el segundo no es una solución de la ecuación del folio).

Por tanto, el origen es un punto que tiene ambos una tangente horizontal y otra vertical. Esta situación puede darse en curvas que se autointersecan (no simples). Encontrar un valor "indeterminado" para $ \ y \ ' \ $ en un punto es señal de que la curva tiene dicha auto-intersección.