¿Es posible formular el siguiente problema de optimización utilizando un marco lagrangiano?

Question

Consideremos el siguiente sistema dinámico que describe la trayectoria de un objeto que se mueve en la dirección $(xz)$ avión de $(0,1)$ a $(1,1)$ , \begin{align} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} &= \cos\psi + \frac{3\alpha}{8z^2} \, \sin(2\psi) \, , \\ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} &= \sin\psi + \frac{3\alpha}{16z^2} \left( 1-3\cos(2\psi) \right) \, , \end{align} donde $\psi$ es un número real (que puede variar en el tiempo/espacio) y $\alpha \in [-10,10]$ . Como ya se ha mencionado, las condiciones de contorno son $z(x=0)=1$ y $z(x=1)=1$ .

Ahora fijamos $z^\prime := \mathrm{d}z/\mathrm{d}x$ y definimos el Lagrangiano del sistema como \begin{equation} \mathcal{L}_\pm := \frac{1}{\left|\cfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right|} \, , \end{equation} que minimice el tiempo de viaje $$ \tau = \int_{0}^{1} \mathcal{L} \, \mathrm{d} x \, . $$

La trayectoria del objeto puede obtenerse resolviendo la ecuación clásica de Euler-Lagrange \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial z^\prime} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 0 \, . \end{equation}

Sin embargo, dado que las ecuaciones originales implican un parámetro adicional $\psi$ resulta difícil formular el problema utilizando un marco lagrangiano. Me preguntaba si existe algún método que pueda ayudar a resolver este tipo de problemas de optimización. Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

La respuesta es simplemente no. No hay forma de formular este problema de optimización en un marco lagrangiano. La razón es que la variable $\psi$ no puede eliminarse para obtener una única ecuación en la que sólo intervenga $z$ y $z^\prime$ . De forma más general, el Lagrangiano también puede ser una función de $x$ .

La forma posible de abordar este problema es especificar la ley de $\psi$ es decir, prescribir la orientación del objeto como entrada antes de calcular el Lagrangiano, o alternativamente imponer una condición sobre $\psi$ que hace posible su eliminación. En este último caso, asumiendo la aproximación de ángulo pequeño, $\psi \ll 1$ permite tomar $\sin(\psi) \sim \psi$ y $\cos(\psi) \sim 1$ . En consecuencia, el lagrangiano puede calcularse fácilmente. Sin embargo, esta suposición implica que la ecuación de Euler-Lagrange no da lugar a una ecuación diferencial de segundo orden en $x$ (puede comprobarse fácilmente). Por tanto, es necesario tomar términos de orden superior en las expansiones de las funciones seno y coseno. Restringiéndolos hasta el segundo orden en $\psi$ y resolviendo para el Lagrangiano del sistema se obtienen dos valores posibles como se indica en el post relacionado de OP . Entonces, el Lagrangiano que debe considerarse es el que conduce al menor tiempo de viaje desde $(0,1)$ a $(1,1)$ . Sin embargo, puede comprobarse que la aproximación de ángulo pequeño puede violarse en ocasiones, con lo que la expansión deja de ser una forma adecuada de tratar este problema.

En consecuencia, te recomiendo encarecidamente que pruebes un enfoque alternativo basado, por ejemplo, en la teoría del control óptimo para resolver este problema, ya que buscar una descripción lagrangiana dista mucho de ser trivial.