Si $\lim_{x \rightarrow a^+}f'(x)$ existe. Entonces $\lim_{x \rightarrow a^+}f'(x) = f'(a)$

Question

Si una función de valor real $f$ es diferenciable en una vecindad de un punto $'a'$ y Si $ \lim_{x \rightarrow a^+}f'(x)$ existe. Entonces $\lim_{x \rightarrow a^+}f'(x) = f'(a)$

He escrito lo que se me ha ocurrido. ¿Puede considerarse una prueba? Busco errores (si los hay) y pruebas alternativas. (Puede ser que el teorema del valor medio se puede utilizar, pero no estoy seguro de eso)

Mi intento :

Sea $f$ sea diferenciable en $I = (a - \delta_0, a + \delta_0)$ . Entonces para $h \in(0, \delta_0/2)$

$$ \lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x) \hspace{4mm} \forall x \in(a - \delta_0/2, a + \delta_0/2)$$ de ahí

$$ \lim_{x \rightarrow a^+} \bigg [\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\bigg ] = \lim_{x \rightarrow a^+}f'(x) \hspace{4mm} \forall x \in(a - \delta_0/2, a + \delta_0/2)$$ Desde el $f'(x)$ existen en $I$ podemos intercambiar el límite para obtener

$$\implies \lim_{h \rightarrow 0^+}\lim_{x \rightarrow a^+}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{x \rightarrow a^+}f'(x) \hspace{4mm} \forall x \in(a - \delta_0/2, a + \delta_0/2)$$

$$ \implies \lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \rightarrow a^+}f'(x) \hspace{4mm} \forall x \in(a - \delta_0/2, a + \delta_0/2)$$ $$ \implies f'(a) =\lim_{x \rightarrow a^+}f'(x)$$ Ahora Tengo una respuesta a esto, pero ¿por qué en este intento por qué los límites no pueden ser intercambiados como el $f'(x)$ se encuentra dentro de la I.

Answer 1

Por el teorema del valor medio, para cada $x$ suficientemente cerca de $a$ hay $\xi_x\in (a,x) $ (o en $(x,a)$ ) tal que.

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}= f^\prime(\xi_x)$$

Si $x\rightarrow a$ entonces, obviamente $\xi_x\rightarrow a$ . El lado izquierdo converge a $f^\prime(a)$ por definición de la derivada. El lado derecho también converge a $f^\prime(a)$ .

Por suposición $\lim_{x\rightarrow a} f^\prime(x)$ existe. Como el límite es único tiene que coincidir con $\lim f^\prime(\xi_x)$ .