El programa de geometría no conmutativa de Connes incluye un aproximación al Modelo Estándar que emplea una extensión no conmutativa de la métrica de Riemann. En los últimos años he oído a físicos decir que este enfoque no tiene un interés significativo en la comunidad de físicos.
¿Es éste, de hecho, el caso? En caso afirmativo, ¿por qué?
No pretendo que esta pregunta sea argumentativa, sino que me gustaría recibir una aclaración.
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Modelo estándar espectral y compactificaciones de cuerdas ]
La formulación algebraica de la geometría tal como aparece en la formulación espectral de la geometría de Connes es, de hecho, bien conocida en otras partes de la física, aunque por alguna razón rara vez se destaque que es lo mismo (pero véanse las referencias más abajo): la forma en que un triple espectral codifica una geometría del espaciotiempo (no conmutativa o clásica) es justo el mismo mecanismo por el que una teoría de campos superconforme 2d (una teoría de hojas del mundo de cuerdas) codifica un espaciotiempo objetivo efectivo. Esto no es difícil de ver una vez que uno desenrolla las definiciones de ambos lados, pero en realidad es también un teorema matemáticamente preciso (véanse de nuevo las referencias más abajo).
Esta respuesta tardía viene motivada por una charla que Alain Connes dio ayer en nuestro departamento, y que me recordó que debía sentarme a escribir un comentario sobre este tema.
Qué significa realmente la construcción del modelo estándar NCG de Connes.
Para más información sobre el "modelo Connes-Lott", véanse los enlaces siguientes:
http://ncatlab.org/nlab/show/spectral+acción
A Connes le gusta publicitar (como volvió a hacer ayer) su modelo como una unificación de la teoría gauge en la geometría, ya que el grupo gauge pasa a formar parte del grupo de difeomorfismos del espaciotiempo ("ligeramente") no conmutativo, y los campos gauge y los acoplamientos de Yukawa pasan a formar parte de la geometría "interna".
Pero, en realidad, eso no es en sí mismo una nueva percepción o logro (dentro de un momento hablaré de lo que SÍ es una nueva percepción). Por el contrario, se trata precisamente de la vieja historia de la compactificación Kaluza-Klein
http://ncatlab.org/nlab/show/Kaluza-Klein+mecanismo
Pero los dos puntos siguientes son interesantes, aunque nunca se mencionen en este contexto:
PUNTO 1. La compactificación tradicional de Kaluza-Klein toma el espacio de compactificación como una variedad lisa, y el gran problema de la teoría es que después de la compactificación hay campos efectivos espurios --los "moduli"--- que parametrizan la pequeña pero finita geometría Riemanniana de estos espacios de compactificación lisos. El problema de "estabilizar" estos moduli, es decir, hacer que el modelo sea tal que estos campos moduli tengan masa fuera del rango de los experimentos de aceleración existentes, ha sido el gran tema de la teoría de cuerdas en la última década o dos, culminando en el asunto del "paisaje".
http://ncatlab.org/nlab/show/landscape+de+la+teoría+de+la+cuerda+vacua
Lo que realmente hace el modelo NCG de Connes es observar que si se considera el límite de degeneración en el que el espacio de compactificación de 6 dimensiones realmente colapsa hasta un punto como una variedad clásica, de modo que sólo queda un espacio clásicamente de 0 dimensiones pero no clásicamente (no conmutativo) todavía con "dimensión KO" 6, entonces también desaparecen sus módulos riemannianos espurios.
Me parece una buena idea, sobre todo teniendo en cuenta...
PUNTO 2. Los triples espectrales de Connes son naturalmente el límite de degeneración de partículas puntuales ("límite de colapso") de las teorías de campo superconformes bidimensionales. Esto quizá se comprendió por primera vez en
Daniel Roggenkamp, Katrin Wendland, "Límites y degeneraciones de teorías de campo conformes unitarias" ( arXiv:hep-th/0308143 ) y "Descodificación de la geometría de las teorías de campos conformes" ( arXiv:0803.0657 )
y luego se puso al servicio del análisis matemático de la teoría de cuerdas en
Yan Soibelman, "Collapsing CFTs, spaces with non-negative Ricci curvature and nc-geometry", en Hisham Sati, Urs Schreiber (eds.), "Mathematical Foundations of Quantum Field and Perturbative String Theory", Proceedings of Symposia of Pure Mathematics volumen 83 (2011). http://ncatlab.org/schreiber/show/Mathematical+Fundamentos+de+Campo+Cuántico+y+Teoría+Perturbativa+de+Cuerdas#ContribuciónSoibelman
También existe este artículo más reciente con un espíritu muy similar, pero utilizando redes conformadas AQFT en lugar de álgebras de operadores de vértice para describir 2d SCFT:
Sebastiano Carpi, Robin Hillier, Yasuyuki Kawahigashi, Roberto Longo, "Spectral triples and the super-Virasoro algebra", Commun.Math.Phys.295:71-97 (2010) ( arXiv:0811.4128 ).
Es decir, el espacio de Hilbert en el triple espectral es esencialmente la pieza sin masa en el espacio de Hilbert de la 2d SCFT, y el operador de Dirac es el modo 0 de la supercarga de la 2d CFT (el "operador de Dirac-Ramond", aquel operador cuyo índice es la Género Witten ).
Ahora bien, las SCFTs 2d de carga central 15 son precisamente las "vacuas" de la teoría de cuerdas, y la forma en que esto funciona es precisamente la filosofía de Connes de la geometría espectral NC (pero enriquecida un buen poco por modos superiores): a saber, uno piensa en la SCFT 2d como la codificación de la teoría cuántica de campos de la hoja del mundo de una supercuerda y piensa en ella como la codificación de una geometría efectiva del espaciotiempo caracterizada "espectralmente" como siendo lo que sea que esta cuerda "ve" como geometría, de ahí la geometría que puede reconocerse en su espectro (de energía). En el límite de la partícula puntual de la cuerda, éste es exactamente el enfoque de Connes, tanto intuitiva como matemáticamente.
Así que construir modelos espectrales (potencialmente "no conmutativos") para la física de partículas no es en realidad una idea nueva de Connes. Esa ha sido la idea de la teoría de cuerdas desde el principio, y lo que Connes considera es el límite de partículas puntuales de la misma.
Desde esta perspectiva, su planteamiento es el siguiente: Construyamos una teoría algebraica sistemática de límites de partículas puntuales de vacuas de cuerdas, por tanto de SCFTs 2d. Esa es la teoría de los triples espectrales. Así que busquemos allí esos triples espectrales que codifican claramente un espaciotiempo de fondo efectivo que acomoda la física fundamental observada. Uno de ellos es el modelo de Connes-Lott.
La siguiente pregunta natural sería: dado que Connes encontró algebraicamente un límite de partículas puntuales ("límite de colapso") de los SCFTs 2d que se ajusta bien a la física observada, ¿qué podemos decir acerca de elevarlo de nuevo a través del proceso de colapso a un SCFT 2d genuino?
Dicho así, me parecería que debería haber alguna interacción fructífera entre los constructores de modelos de fenomenología de cuerdas y el grupo de personas que estudian los "modelos estándar no conmutativos" de Connes-Lott. Pero no es así. Mi humilde impresión es que ninguno de los dos grupos ha entendido lo que el otro grupo está haciendo realmente, que haya matemáticas sólidas que relacionen concretamente a ambos.
Y para uno es sorprendente que Connes encuentre que la dimensión KO de su espacio compacto tiene que ser exactamente 6, por lo tanto que encuentre que la dimensión KO total de sus espacios-tiempos KK no clásicos que dan lugar al modelo estándar tiene que ser 10 = 4 + 6.
¿Puede modificarse con éxito la imagen NCG para que se ajuste a la masa real del bosón de Higgs?
arXiv:1208.1030 "Resistencia del modelo estándar espectral"
arXiv:1208.5023 "Seguridad asintótica, funciones hipergeométricas y la masa de Higgs en modelos de acción espectral"
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