Espero que alguien pueda aclarar esta confusión y darme una definición adecuada de lo siguiente.
Un autor escribe "consideramos la familia de transformaciones"
$x_{\epsilon}^* = \Phi(x,u,\epsilon)$
$u_{\epsilon}^* = \Psi(x,u,\epsilon)$
Dónde $\Phi$ y $\Psi$ son diferenciables con respecto a $\epsilon$ y
$x_{0}^* = \Phi(x,u,0) = x$
$u_{0}^* = \Psi(x,u,0) = u$
A continuación, sustituimos $u$ por $u(x)$ y eliminar $x$ de las ecuaciones resultantes para obtener la ecuación $$u_{\epsilon}^* = u_{\epsilon}^*(x^*)$$ (No lo entiendo. ¿Está diciendo que $u^*$ es función de $x^*$ )?
y obtener $$u_{\epsilon}^*(x_{\epsilon}^*) - u(x) = \epsilon \psi(x) + o(\epsilon),$$ donde $\psi(x) = \frac{\partial \Psi(x,u(x),\epsilon)}{\partial \epsilon} |_{\epsilon = 0}$
No define $u_{\epsilon}^*(x_{\epsilon}^*)$ pero entiendo que significa $u_{\epsilon}^*(x_{\epsilon}^*) = \Psi(x_{\epsilon}^*,u(x_{\epsilon}^*),\epsilon).$ Para esta definición, la ecuación anterior, que incluye $o(\epsilon)$ no puede ser cierto ya que debería decir $\psi(x) = \frac{\partial \Psi(x_{\epsilon}^*,u(x_{\epsilon}^*),\epsilon)}{\partial \epsilon} |_{\epsilon = 0}$ por el teorema de Taylor.
¿Me equivoco en mi definición o es que este autor escribe basura?
