Corolario simple del pequeño teorema de Fermat

Question

Probablemente me estoy perdiendo algo super simple, pero simplemente no puedo entender esto. Para enteros $a,p$ tal que $gcd(a,p)=1$ entonces el Pequeño Teorema de Fermat dice $$a^{p-1}=1 \mod{p}$$ Mi libro de texto dice entonces que si $a$ es una raíz primitiva y $x\equiv y \mod{p-1}$ entonces $a^x=a^y\mod p$ . ¿Puede alguien ayudarme a entender esta prueba?

Answer 1

Usted tiene

$$x \equiv y \pmod{p - 1} \implies x = y + n(p-1) \tag{1}\label{eq1A}$$

para algunos $n \in \mathbb{N}$ . Así, utilizando $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ , tienes que

$$a^x \equiv a^{y + n(p-1)} \equiv (a^y)(a^{n(p-1)}) \equiv a^y(a^{p-1})^n \equiv a^y \pmod{p} \tag{2}\label{eq2A}$$

Tenga en cuenta que esto es válido para todos los $a$ donde $\gcd(a,p) = 1$ no sólo para las raíces primitivas de $p$ .