Algún consejo para resolver $\frac{|4x-2|}{|2x+1|} \le 1$ lo más sucintamente posible?

Question

$\frac{|4x-2|}{|2x+1|} \le 1$

Así que, tal y como lo veo actualmente, tengo dos opciones:

1) Intentar resolver algebraicamente, pero eso me ha llevado por caminos muy largos cuando creo que la cuestión debería poder resolverse más rápidamente.

2) Dibujar gráficos... Pero debido a la imprevisible complejidad de la ecuación (pronto haré un examen), prefiero no apostar por esa opción.

¡Cualquier ayuda sería estupenda!

Answer 1

La forma más rápida y sencilla es buscar dónde $-2x-1\leq 4x-2\leq 2x+1$ y esto equivale a $\frac{1}{6}\leq x\leq \frac{3}{2}$

Answer 2

Sólo lo publico para ampliar sus conocimientos. El método algebraico no es demasiado largo. Trate de cubrir algunos cálculos en mente solamente.

$$\cfrac{2|2x-1|}{|2x+1|} \le 1 \\ \cfrac{|2x-1|}{|2x+1|} \le \cfrac{1}{2}$$

O puedo cruzar multiplicar y obtener :

$$2|2x-1| \le |2x+1|$$

Cuadrar ambos lados

$$\begin{align} & 4(2x-1)^2 \le (2x+1)^2 \\ & 4(2x-1)^2 - (2x+1)^2 \le 0\\ & (2(2x-1) - (2x+1))(2(2x-1) + (2x+1) ) \le 0 \\ & (4x - 2 - 2x - 1)(4x - 2 + 2x + 1) \le 0\\ & (2x - 3)(6x - 1) \le 0 \\ & (x - 3/2)(x -1/6) \le 0 \end{align}$$

Por lo tanto, resulta ser : $\frac{1}{6} \le x \le \frac{3}{2}$

P.D : Sigo sugiriendo que usted acaba de ir a través de este método, pero prefieren hacer lo que otros sugirieron. Sólo mantén este proceso en tu mente y cuando lo necesites, sólo ve con él. Elevar al cuadrado las funciones de módulo generalmente ayuda en el futuro. ¡Good Luck!

Answer 3

Simplemente resuelve los casos para que puedas soltar los valores absolutos.

• Sabes que $4x-2$ es negativo si $x<\frac12$ y positivo en caso contrario.
• Sabes que $2x+1$ es negativo si $x<-\frac12$ y positivo en caso contrario.

Ahora, sólo tienes $3$ posibilidades:

• $x < -\frac12$ : En este caso, ambas expresiones son negativas, por lo que $|4x-2| = -(4x-2)$ y $|2x+1| = -(2x+1)$
• $-\frac12 < x < \frac 12$ : En este caso, $4x-2<0$ y $2x+1>0$ Así que $|4x-2|=-(4x-2)$ y $|2x+1|=2x+1$
• $x>\frac12$ : Ambas expresiones son positivas.

En cada caso, puedes resolver rápidamente una desigualdad muy sencilla y ver si obtienes alguna solución. Pero ten en cuenta que si primero dices $x<10$ por ejemplo, y luego obtener una solución $x>15$ la respuesta real es que para $x<10$ NO hay soluciones.

Además, todavía hay que ver qué pasa si $x=\pm\frac12$ se obtienen respuestas diferentes para los dos.

Answer 4

Por la diferencia de identidad de cuadrados, $$(4x-2)^2-(2x+1)^2=(6x-1)(2x-3)$$ y este polinomio toma valores negativos entre las raíces.

Answer 5

En realidad, es muy rápido y sencillo trazar un gráfico, aunque sea aproximado, que luego permite eliminar casos fácilmente:

La línea azul es el gráfico de $y = |4x-2|$ y la línea roja es el gráfico de $y = |2x+1|$ . De esto se deduce inmediatamente que el conjunto de soluciones de la desigualdad dada corresponde al conjunto de $x$ -valores para los que el gráfico azul es menor o igual que el rojo. Así que ahora podemos resolver para los puntos de intersección $4x-2 = 2x+1$ y $-(4x-2) = 2x+1$ .