¿Cómo se calcula un límite superior de confianza en un problema con 2 medias?

Question

Se me presenta:

Dos máquinas llenan botellas de plástico con detergente lavavajillas lavavajillas. Se sabe que las desviaciones típicas del volumen de llenado son 1 = 0,10 y 2 = 0,15 onzas líquidas para las dos máquinas, respectivamente. Se seleccionan dos muestras aleatorias de n1=12 botellas de la máquina 1 y n2=10 botellas de la máquina 2, y los volúmenes medios de llenado de las muestras son =30,65 y =30,34 onzas líquidas. Suponga normalidad.

Encuentre un límite de confianza superior del 95% para la diferencia media en el volumen de llenado.

He podido responder a todas las demás partes de esta pregunta, pero no consigo resolver este problema... Sé que la fórmula debe ser:

U= $x_1-x_2+z_asqrt(\sigma^2_1/n_1+\sigma^2_2/n_2)$

No estoy seguro de qué $z_a$ es y estoy seguro de que eso es parte de mi problema... Tampoco tengo un concepto físico sólido de lo que es un límite superior de confianza. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Lo que hay que calcular aquí es el intervalo de confianza del 95% ( $1-\alpha=0.95$ ) para la diferencia media. Para muestras grandes, viene dada por:

$$\left[\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}},\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}\right].$$

Intuitivamente, es el intervalo en el que se sitúa el verdadero valor de la media de la diferencia de los volúmenes de llenado con un 95% de probabilidad.

Más concretamente, le interesa el límite superior, es decir $\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}$ .

Ahora, te preguntarás qué $z_{1-\frac{\alpha}{2}}$ . Dicho valor de $z$ que satisface $\Phi(z)=1-\frac{\alpha}{2}$ donde $\Phi(\cdot)$ es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar. El valor dado por nuestro colega, $1.96$ era el valor correcto, obtenido de las tablas para la distribución normal estándar.

Sin embargo, como sus valores para ambos $n$ son bastante bajos, parece razonable utilizar la distribución t en lugar de la normal. Su límite superior cambia así a:

$$\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}+t\left(\frac{\alpha}{2},\nu\right)\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}$$

donde $\alpha/2$ es la probabilidad de la cola superior ( $1-\alpha=0.95$ es el nivel de confianza) y $\nu=n_1+n_2-2$ son los grados de libertad. En las tablas de la distribución t se puede encontrar que $t(0.025,20)=2.086$ (aunque puede encontrar otras notaciones, como $t_{0.975}$ - normalmente se deduce de la tabla qué notación se utiliza). Introduce el resto de los números y obtendrás el resultado correcto.