Describir la imagen del decorado $\{z:|z|<1, Im(z)>0\}$ según la correspondencia $w =\frac{2z-i}{2+iz}$

Question

Describir la imagen del decorado $\{z:|z|<1, Im(z)>0\}$ bajo el cartografía $w =\frac{2z-i}{2+iz}$

Primero necesito encontrar la inversa que es $z=\frac{2w+i}{2-iw}$ .

Ahora dejemos que $w=u+iv$ tenemos

$$z=\frac{2w+i}{2-iw}=\frac{2u+2iv+i}{2+v-iu}$$

De aquí obtengo $x= \frac{3u}{(2+v)^2 +u^2}$ y $y=\frac{5v+2u^2 +2v^2+2}{(2+v)^2 +u^2 }$

Desde $Im(z)>0$ , $5v+2u^2 +2v^2+2>0$ y $|z|<1$ así que $ \sqrt{x^2+y^2} <1$ .

$$x^2 +y^2<1$$ $$(\frac{3u}{(2+v)^2 +u^2})^2 +(\frac{5v+2u^2 +2v^2+2}{(2+v)^2 +u^2 })^2 <1$$

$$3u^4+3v^4+20u^3+8v^3+6u^2v^2+8u^2v+4v^2-3v-12<0$$

Ahora estoy atascado, así que probé el método del Sr. Blatter y obtuve $T(-1)=\frac{-2-i}{2+i}$ , $T(0)=1$ , $T(1)=\frac{2-i}{2+i}$ , $T(i)=i$ . ¿Esto me dice que la imagen es el lado izquierdo?

Answer 1

La transformación de Moebius $$T:\quad z\mapsto w:={2z-i\over 2+iz}$$ mapea "círculos" (es decir, círculos o líneas) en $\bar{\Bbb C}$ en "círculos". Como los "círculos" están determinados por tres puntos sobre ellos, basta con calcular los puntos imagen de tres puntos sobre el círculo unitario y de tres puntos sobre el eje real. Cálculo de los cuatro números complejos $T(-1)$ , $T(0)$ , $T(1)$ et $T(i)$ hará el trabajo. Además $T(0)$ resp. $T(i)$ le indicará a qué lado de los dos "círculos" de imagen se asignará la mitad superior del disco unitario.

Se calcula $$T(-1)={-3-4i\over5},\quad T(0)=-{i\over2},\quad T(1)={3-4i\over5},\quad T(i)=i\ .$$ Desde $T(-1)$ , $T(1)$ et $T(i)$ se encuentran en el círculo unitario $\partial D$ sabemos que $T$ mapas $\partial D$ en $\partial D$ . Puesto que ambos $0$ y $T(0)$ se encuentran en el interior de $\partial D$ podemos concluir que $T$ mapea el disco unitario $D$ en $D$ .

$T$ mapea el eje real en el círculo $\gamma$ a través de los tres puntos $T(-1)$ , $T(0)$ , $T(1)$ en el plano medio inferior. El punto $i$ está en el semiplano superior, y $T(i)$ está en el exterior $E$ de $\gamma$ . Esto implica que $T$ traza el plano medio superior $H$ en $E$ .

El semidisco superior en cuestión es la intersección $D\cap H$ . Su imagen es entonces la intersección $D\cap E$ - un logotipo de Apple convertido ${\pi\over2}$ en el sentido de las agujas del reloj.

Answer 2

Para simplificar, se puede observar que en realidad sólo es necesario calcular la imagen de la mitad superior círculo y del segmento real [-1, 1], porque su transformación es continua. Aparte de eso, la expresión $x^2 + y^2 = 1$ (no es necesario echar raíces cuadradas) se simplificará mágicamente : véase también el artículo de wikipedia sobre las transformaciones de Möbius . Es un hecho general que estos envían círculos a círculos y líneas a líneas.

Answer 3

Tiene errores en sus cálculos de $T(-1), \space T(0)$
Primero verifique que puede obtener $$T(-1)=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i \quad T(0)=-\frac{i}{2}\quad T(1)=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\quad T(i)=i$$
A continuación, ya que estás buscando el mapeo del área entre el eje real y la mitad superior del disco unitario, primero necesitas encontrar el mapeo del eje real y el disco unitario.

Empezando por el disco de la unidad, observe que $T(1) = \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i, \space T(i) = i, \space T(-1)=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\space$ Se trata de puntos en el círculo unitario, por lo que el círculo unitario se traza sobre sí mismo. Fuimos en el sentido contrario a las agujas del reloj desde $1$ a $i$ a $-1$ y llegó a los puntos $\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i,\space i,\space -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\space$ también en el sentido contrario a las agujas del reloj. Así que el interior está mapeado hacia sí mismo. Alternativamente a este enfoque de "dirección", puedes tomar un punto interior (o exterior) y comprobar hacia dónde está mapeado. Sabemos que $T(0)=-\frac{i}{2}$ por lo que un punto interior se mapea a un punto interior lo que significa que el área interior se mapea al área interior.

Para comprobar a dónde está mapeado el eje real nos fijamos en $-1, 0, 1$ que se asignan a $-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i, \space -\frac{i}{2},\space \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$ respectivamente. Así pues, al recorrer el eje real "de izquierda a derecha" obtenemos puntos en el círculo en el sentido de las agujas del reloj. Esto significa que los puntos situados a la izquierda del eje real (el semiplano superior) se asignan a puntos situados a la izquierda del círculo (fuera del círculo).
Así que ya sabes que tu conjunto imagen son todos los puntos dentro del círculo unidad pero fuera del otro círculo.
Para encontrar el otro círculo, introduzca $z=t \in \mathbb{R}$ y representar la curva $h(t)$ con $x-y$ coordenadas, tomar la derivada $h'(t)$ y compruebe cuando el $y$ coordenada es $0$ que debería estar en $t=0, \infty$ . Entonces usted consigue $2$ puntos del círculo con distancia $2r$ . Usted debe obtener el círculo $|z+\frac{5}{4}i|=\frac{3}{4}$ .

Actualización
Para $z=t\in \mathbb{R}$ tenemos $w=\frac{2t-i}{2+it} = \frac{3t}{4+t^2}-i\frac{2+2t^2}{4+t^2}$ por lo que la curva de la imagen viene dada por $h(t)=(\frac{3t}{4+t^2},-\frac{2+2t^2}{4+t^2})$
Ahora puede calcular $h'(t)$ y comprueba dónde la segunda coordenada es cero, lo que te dará $2$ puntos en los que la tangente al círculo es paralela al eje real, lo que significa que estos puntos están a una distancia $2r$ entre sí donde $r$ es el radio.