¿Por qué homotopía en cadena cuando no hay topología de fondo?

Question

Dados dos morfismos entre complejos de cadenas $f_\bullet,g_\bullet\colon\,C_\bullet\longrightarrow D_\bullet$ una homotopía en cadena entre ellos es una secuencia de mapas $\psi_n\colon\,C_n\longrightarrow D_{n+1}$ tal que $f_n-g_n= \partial_D \psi_n+\psi_{n-1}\partial_C$ . Puedo motivar esta definición sólo cuando los complejos de cadenas están asociados a algún espacio topológico. Por ejemplo, si $C_\bullet$ y $D_\bullet$ son complejos simpliciales en cadena, entonces para un simplex $\sigma$ una homotopía entre $f(\sigma)$ y $g(\sigma)$ es algo como $\psi(\sigma)\approx\sigma\times [0,1]$ cuyo límite es $f(\sigma)-g(\sigma)-\psi(\partial\sigma)$ .
Pero la homotopía en cadena también aparece en contextos en los que no hay ningún espacio topológico al acecho. Algunos ejemplos son la homotopía en cadena de complejos de grafos ( Por ejemplo Conant-Schneiderman-Teichner) u homotopía en cadena de complejos en homología de Khovanov. En tales contextos, la motivación esbozada en el párrafo anterior no tiene sentido, siendo "los límites de un cilindro la parte superior, la inferior y los lados", porque no existe tal cosa como un "cilindro". Por lo tanto, seguramente, la "motivación del cilindro" no es la razón fundamental por la que la homotopía de cadena es "la relación correcta" para estudiar los complejos de cadena. Es una pregunta embarazosa, pero:

¿Cuál es la razón fundamental (algebraica) por la que la homotopía de cadenas es relevante a la hora de estudiar los complejos de cadenas?

Answer 1

Esto era un comentario, pero creo que no estaba tan claro, aunque se esconde en algunas de las respuestas anteriores:

Hay un objeto en $Ch^+(R)$ que se comporta como un intervalo. Piensa en el intervalo simplicial, y obtendrás un complejo en cadena $I_*$ en $R$ con $I_0=Re_0 \oplus Re_1$ , $I_1=Rf_0$ y todos los demás grupos 0, con diferencial $d(f_0)=e_1−e_0$ . Esto desempeña el papel del intervalo unitario. Ahora una homotopía de cadena de dos mapas de cadena $f,g:A_∗ \to B_∗$ realmente es $H:A_∗ \otimes I_* \to B_*$ donde el producto tensorial tiene lugar en complejos de cadena R. No estoy seguro de cómo se comporta este objeto con respecto a los mapas de Dold-Kan, pero sin duda son las cadenas normalizadas en $\Delta^1$ . También se pueden consultar mapas de $R$ complejos de $I_*$ en $Hom_R(A_*,B_*)$ .

Con esto en la mano puedes formar objetos cilíndricos y secuencias de cofibras de la manera "obvia", y las cosas empiezan a parecer un poco más geométricas.