¿Por qué homotopía en cadena cuando no hay topología de fondo?

Question

Dados dos morfismos entre complejos de cadenas $f_\bullet,g_\bullet\colon\,C_\bullet\longrightarrow D_\bullet$ una homotopía en cadena entre ellos es una secuencia de mapas $\psi_n\colon\,C_n\longrightarrow D_{n+1}$ tal que $f_n-g_n= \partial_D \psi_n+\psi_{n-1}\partial_C$ . Puedo motivar esta definición sólo cuando los complejos de cadenas están asociados a algún espacio topológico. Por ejemplo, si $C_\bullet$ y $D_\bullet$ son complejos simpliciales en cadena, entonces para un simplex $\sigma$ una homotopía entre $f(\sigma)$ y $g(\sigma)$ es algo como $\psi(\sigma)\approx\sigma\times [0,1]$ cuyo límite es $f(\sigma)-g(\sigma)-\psi(\partial\sigma)$ .
Pero la homotopía en cadena también aparece en contextos en los que no hay ningún espacio topológico al acecho. Algunos ejemplos son la homotopía en cadena de complejos de grafos ( Por ejemplo Conant-Schneiderman-Teichner) u homotopía en cadena de complejos en homología de Khovanov. En tales contextos, la motivación esbozada en el párrafo anterior no tiene sentido, siendo "los límites de un cilindro la parte superior, la inferior y los lados", porque no existe tal cosa como un "cilindro". Por lo tanto, seguramente, la "motivación del cilindro" no es la razón fundamental por la que la homotopía de cadena es "la relación correcta" para estudiar los complejos de cadena. Es una pregunta embarazosa, pero:

¿Cuál es la razón fundamental (algebraica) por la que la homotopía de cadenas es relevante a la hora de estudiar los complejos de cadenas?

Answer 1

He aquí una forma de verlo: Hay un complejo de cadenas $Hom(C,D)$ en el que el $n$ es el producto sobre $k$ de $Hom(C_k,D_{n+k})$ y el límite viene dado por $\partial (f(c))=(\partial f)(c)+(-1)^{|f|}f(\partial c)$ . Un mapa en cadena es un $0$ -y dos de ellos son homotópicos en cadena si difieren en un límite.

EDIT: Y luego un mapa en cadena $B\to Hom(C,D)$ corresponde precisamente a un mapa en cadena $B\otimes C\to D$ donde $B\otimes C$ se define utilizando la convención habitual $\partial (b\otimes c)=(\partial b)\otimes c + (-1)^{|b|}b\otimes \partial c$

Answer 2

Hay un hogar interior en $\mathbf{Chain}$ y las cadenas 1 son homotopías de cadena. La definición es $$ \underline{\mathbf{Chain}}(C_\bullet,D_\bullet)_k = \Pi_n \textrm{Hom} (C_{n-k},D_n) $$ por lo que una cadena 0 es sólo un mapa $f_n:C_n\rightarrow D_n$ . La diferencial de este complejo viene dada por $$ df(c) = d_D(f(c)) - (-1)^{|f|}\left(f(d_C(c)\right) $$ Así que un ciclo 0 no es más que un mapa encadenado. Una cadena 1 cuyo límite es $f-g$ es exactamente una homotopía en cadena de $g$ a $f$ .

Alternativamente, existe una estructura modelo en $\mathbf{Chain}$ donde las equivalencias débiles son cuasi-isomorfismos, y puedes dar sentido al cilindro como un objeto cilindro para un complejo de cadenas, y entonces tu motivación topológica debería seguir teniendo sentido. Aunque no conozco todos los detalles, así que no lo intentaré...

EDIT: crosspost...

Answer 3

Se trata sobre todo de ampliar un poco las declaraciones de John Klein y Alan Wilder.

Si se toma la categoría de complejos de cadenas y se gradúa formalmente que los cuasi-isomorfismos $C \to D$ se conviertan en isomorfismos, ya estás obligado a identificar juntos los mapas homotópicos en cadena.

Sea $I$ sea el complejo de cadenas que es $\mathbb{Z} \cdot s \oplus \mathbb{Z} \cdot t$ en grado 0, y $\mathbb{Z} \cdot H$ en grado 1, con $\partial H = t - s$ . Entonces, para cualquier complejo $C$ existen cuasi-isomorfismos $i_s(c) = s \otimes c$ y $i_t(c) = t \otimes c$ de $C$ a $I \otimes C$ y un cuasi-isomorfismo inverso $p: I \otimes C \to C$ que mata $H$ y envía $s,t$ a $1$ . Tenemos $p i_s = id = p i_t$ por lo que si convertimos los cuasi-isomorfismos en isomorfismos obtenemos la identificación $i_s = p^{-1} = i_t$ .

Una homotopía de cadena $H$ entre dos mapas $f,g:C \to D$ es lo mismo que un mapa $h: I \otimes C \to D$ tal que $h i_s = f$ , $h i_t = g$ con $h(H \otimes c) = H(c)$ . Si hemos decretado que los cuasi-isomorfismos son isomorfismos, entonces encontramos $f = h i_s = h i_t = g$ .

El milagro es que, para complejos agradables, basta con la equivalencia homotópica en cadena. Aquí es donde entra en juego la analogía con los espacios topológicos: el complejo $I \otimes C$ es un objeto cilíndrico en una estructura de modelo adecuada.

Answer 4

Así es como pienso en los complejos de cadenas. (Menciono que siempre debes permitirte complejos que vayan en ambas direcciones).

Existe una categoría de $\mathbb Z$ -espacios vectoriales graduados, que es monoidal (sólo porque es la categoría de $\mathbb G_m$ -), pero le doy la interesante estructura simétrica siguiendo las reglas habituales del signo "super" --- dejemos que $\mathfrak Q$ denotan el espacio vectorial unidimensional en grado $1$ ; luego elijo el trenzado $\mathfrak Q \otimes \mathfrak Q \to \mathfrak Q \otimes \mathfrak Q$ ser menos identidad (esto determina el trenzado en la categoría).

Ahora, dale al objeto $\mathfrak Q$ la estructura de un álgebra de Lie abeliana. (Nótese que por "álgebra de Lie" y "representación" quiero decir que hay que interpretar todas las AS/IHX/STU con respecto al trenzado elegido).

Entonces la categoría de Complejos de Cadenas, como categoría simétrica monoidal, es precisamente la categoría de (izquierda, digamos) $\mathfrak Q$ -modules: comprobarlo es un bonito ejercicio (y explica cuáles son los signos correctos).

Pero la categoría de $\mathfrak Q$ -módulos, como ha dicho Alan Wilder, tiene una hom interna, y se puede saber cuál es porque es una hom interna de representaciones de un álgebra de Lie. A saber, si $f\in \underline{\hom}(X,Y)$ entonces el vector base $d\in \mathfrak Q$ actúa sobre $f$ por $f \mapsto [d,f]$ donde el conmutador debe interpretarse, por supuesto, en el supersentido, que es el sentido interno de la categoría.

Así pues, los mapas en cadena son los elementos invariantes globales (= grado-0). (grado-(-1)) $h$ es una homotopía entre (grado-0) $f,g$ si $[d,h] = f-g$ como señaló Tom. Otra forma de decir esto: $f-g$ está en el $\mathfrak Q$ -generada por los elementos de grado (-1), de modo que $f,g$ están en el mismo coset.

Answer 5

Una aplicación importante de la homotopía en cadena es la (co)homología: Si $f,g: C \to D$ son homotópicas, entonces $$[f_n] = [g_n]: H_n(C) \to H_n(D).$$

Además, la homotopía en cadena tiene buenas propiedades functoriales. Por ejemplo, con $f,g$ los mapas en cadena $$ Hom(f,id_B), Hom(g,id_B): Hom(D,B) \to Hom(C,B)$$ son de nuevo homotópicas, lo que implica que
$$ [Hom(f_n,id_B)] = [Hom(g_n,id_B)]: H^n(D,B) \to H^n(C,B).$$ Como aplicación, se puede demostrar que los homomorfismos inducidos para $Ext$ son únicos. Para: Que $C \to A$ resp. $D \to A'$ sea una resolución proyectiva de $A$ resp. $A'$ y que $\alpha: A \to A'$ sea un homomorfismo. Por el lema fundamental de las resoluciones proyectivas, dos mapas en cadena $f, g$ que se extienden $\alpha$ son homotópicas, así que por lo anterior, $$ \alpha^*_n := [Hom(f_n,id_B)]: Ext^n(A',B) \to Ext^n(A,B)$$ está bien definido, donde $Ext^n(A,B):= H^n(C,B)$ .