En la coordenada $\{x^i\}$ la curvatura de Riemann t $$ R=R_{ijkl}\,dx^i\otimes dx^j\otimes dx^k \otimes dx^l $$ y la curvatura de Ricci puede $$\text{Ric}=R_{ij}\,dx^i\otimes dx^j$$ donde $R_{ij}=g^{kl} R_{kilj}\,$ . P $$R_{ij;m}=g^{kl} R_{ikjl;m}$$ w $$\theta_{i_1i_2\cdots i_s;m}=\left(D_{\partial_m}\theta\right)(\partial_{i_1},\cdots,\partial_{i_s})\,.$$
Mi intento
I $$R_{jk;m} = (g^{il}R_{ijkl})_{;m} = g^{il}{}_{;m}R_{ijkl} + g^{il}R_{ijkl;m} = g^{il}R_{ijkl;m}\tag{1}$$ y $$g^{il}{}_{;m}=0 \,.\tag{2}$$
En cuanto a $(2)$ No estoy seguro de lo que significa $g^{il}{}_{;m}$ es. Pensé que $$ g^{il}{}_{;m}=\left(D_{\partial_m}\,\check g\right)(dx^i,dx^l) $$ donde $\check g(\alpha,\beta)=g(\alpha^\sharp, \beta^\sharp)$ es la métrica dual en la que $\sharp$ denota el isomorfismo musical . ¿Estoy en lo cierto?
Puedo probar que $Dg=0$ y por lo tanto $g_{ij;k}=0$ . Espero usar esto para probar $(2)$ y traté de aprovechar $g^{il}g_{lj}=\delta^i_j$ . Y entonces supongo que $$(g^{il}g_{lj})_{;m}=g^{il}{}_{;m}g_{lj}+g^{il}g_{lj;m}$$ pero no sé si esto es correcto, y no sé cómo conseguir $(1)$ . Son similares y parecen la regla de Leibniz. ¿Podríamos concluirlo? ¡Cualquier ayuda será muy apreciada!
