Abarcando $\mathbb{I}$ en $V$

Question

Tengo la siguiente definición,

Definición Si $\rho$ : $G \rightarrow GL(V)$ es una representación que llamamos $v \in V$ $G$ -invariante si $$g \cdot v =v \ \ \forall g \in G $$

Entonces tengo la declaración If $v \neq 0$ es invariante, abarca una copia de $\mathbb{I}$ (representación trivial) en $V$ .

No entiendo qué significa que "abarca una copia de $\mathbb{I}$ en $V$ . Esto me parece intuitivamente correcto, pero estoy intentando concretarlo con definiciones.

Answer 1

Sea $k$ ser el campo sobre el que estás trabajando.

Si $g\cdot v = v$ para todos $g \in G$ entonces el tramo de $v$ es decir, la línea $kv$ es una subrepresentación $\rho'\colon G \to \mathrm{GL}(kv)$ de $V$ . Esta representación es isomorfa a la representación trivial $\mathbb I\colon G \to \mathrm{GL}(k)$ . Esto significa que existe un mapa lineal $f\colon k \to kv$ tal que para todo $g \in G$ y $a \in k$ tenemos $f(\mathbb I(g)a) = \rho'(g)f(a)$ . En este caso, puede definir $f$ por $a \mapsto av$ .